Wird hier nicht einfach die allgemeine Definition der Stetigkeit auf ein konkreteres Beispiel angewandt?

Question

Problem: Guten Tag liebe Mathelounge Community, ich habe Probleme beim Verständnis folgendes Satzes der Analysis I:

(Zwischenwertsatz). Die Funktion \( f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) sei stetig und \( \eta \in[\min \{f(a), f(b)\}, \max \{f(a), f(b)\}] . \) Dann existiert ein \( \xi \in[a, b] \) mit
\( f(\xi)=\eta \)

Ansatz: Ich sehe den Nutzen dieses Satzes nicht ganz. Wird hier nicht einfach die allgemeine Definition der Stetigkeit auf ein konkreteres Beispiel angewandt? Wenn [a,b] stetig ist dann ist doch jedes Element dieses Intervalls stetig unabhängig von der Forderung die wir stellen.

Hoffe jemand kann mich erleuchten

Mit lieben Grüßen

kumatis

Answer 1

Anschaulich heißt Stetigkeit auf einem Intervall doch:

Du kannst den Funktionsgraphen in einem Zug durchzeichnen vom

Anfangspunkt ( a;f(a)) zum Endpunkt (b;f(b)).

Dann werden alle y-Werte, die zwischen f(a) und f(b) liegen

für irgendein x aus dem Intervall erreicht.

Und min{f(a);f(b)} ist der kleinere der beiden und

max{f(a);f(b)} der größere der Randwerte.  Und das η ist eben einer der

zwischen dem kleineren und dem größeren liegt.

Typische Anwendung:  Wenn f(a) und f(b) verschiedene Vorzeichen

haben, gibt es zwischen a und b immer eine Nullstelle.

Comments

Danke für das Anwendungsbeispiel, das hilft!

Was mich aber noch zum grübeln bringt ist der Fakt, dass hier keine neue Information geliefert wird wenn man die Stetigkeit bereits definiert hat. Es gibt doch immer einen Punkt in [a,b] für einen weiteren Punkt aus [(a, f(a)); (b, f(b))] wenn [a,b] stetig ist, oder?

Danke nochmal!

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Die neue Information ist ja, dass die Stetigkeit auf

dem Intervall die Existenz eines solchen Punktes garantiert.

Das ist ja eigentlich bei allen mathematischen Sätzen so,

dass die Gültigkeit einer Voraussetzung  (hier Stetigkeit)

die Gültigkeit einer Folgerung ( hier Existenz eines solchen

Punktes) garantiert.

Du könntest ja sonst auch sagen: Der Satz des Pythagoras

bringt doch nicht Neues. Ich weiß, dass bei rechtwinkligen

Dreiecken a^2 +b^2 = c^2 gilt. Aber der Satz sagt ja

eben:  Wenn das Dreieck rechtwi. ist, dann gilt ...