Zeigen, dass f stetig in 1/2, sonst nicht

Question

Hi! Könnt ihr mir bitte helfen? Ich komme nicht weiter...

 "Es sei \(f: [0,1] \rightarrow[0,1] \) gegeben durch
\[f(x):=\left\{\begin{aligned}
x &: x \in \mathbb{Q} \cap[0,1] \\
1-x &: x \in[0,1] \backslash \mathbb{Q}
\end{aligned}\right.
\]
Zeigen Sie, dass \( f \) in \( \frac{1}{2} \) stetig und in allen anderen Punkten nicht stetig ist."

Ich konnte mit dem Delta-Epsilon-Kriterium zeigen, dass \(f\) in \(\frac{1}{2}\) stetig ist; wisst ihr, wie man den Rest zeigt?

Answer 1

Sei x ∈ [0, 1] \ {½}.

Sei ε = |½-x|/2.

Zeige, dass es kein passendes δ gibt.

Tipp. ℚ liegt dicht in ℝ.

Comments

Aber was meinst du mit "kein passendes \(\delta\)" ? Delta muss ich doch als beliebig voraussetzen, oder nicht? Also ich muss doch zeigen, dass

\(|f(y) - f(x)| ≥ |\frac{1}{2}-x| \frac{1}{2} \)

und

\(|y-x| \leq \delta \),

 oder?

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Laut Definition der Stetigkeit ist die Funktion f: [0, 1] → [0, 1] an der Stelle x₀∈[0, 1] genau dann stetig wenn folgende Aussage gilt:

        ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ [0, 1]:  |x - x₀| < δ → |f(x) - f(x₀)| < ε.

Negation davon ist

        ¬ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ [0, 1]:  |x - x₀| < δ → |f(x) - f(x₀)| < ε

was umgeformt werden kann zu

        ∃ ε > 0 ¬ ∃ δ > 0 ∀ x ∈ [0, 1]:  |x - x₀| < δ → |f(x) - f(x₀)| < ε.

Einen Vorschlag für das ε, das laut "∃ ε > 0" existieren soll, habe ich dir gegeben. Du musst nur noch "¬ ∃ δ > 0 ..." zeigen, also dass kein δ > 0 existiert, so dass

        ∀ x ∈ [0, 1]:  |x - x₀| < δ → |f(x) - f(x₀)| < ε

gilt.

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Danke für deine Mühe, aber ich verstehe echt nicht, wie das gehen soll, kann man das nicht auch auf die gewohnte Weise machen?

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... aber ich verstehe echt nicht, wie das gehen soll, ...

Diese Aussage legt nahe, dass du verstanden hast, was du zeigen sollst, und warum du das zeigen sollst. Ist meine Vermutung korrekt?

kann man das nicht auch auf die gewohnte Weise machen?

Ich weiß micht, was du gewohnt bist.