Wie forme ich diese Gleichung nun richtig um, um die p-q-Formel anwenden zu können?

Question

Aufgabe:

Stichwort: Kurvenscharen

Ich habe folgende Funktion:

f(x) = 1/2a * x^3 -3x^2 + 9/2ax ; a>0

Herauszufinden sind: a) Nullstellen b) Extremalpunkte c) Wendepunkte d) Ortskurve von Hochpunkten

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist, dass ich schon bei den Nullstellen irritiert bin, ich habe es so weit umgeformt:

x(a^-1 * x^2 - 3/2x + 9/4 a)        (überhaupt richtig/sinnvoll?)

Normalerweise würde sich hier die p-q-Formel als hilfreich erweisen, jedoch weiß ich nichts mit dem ersten "a^-1" anzufangen.

Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

Es erschließt sich mir einfach nicht... :(

Answer 1

f(x) = 1/2a * x^3 -3x^2 + 9/2ax ; a>0

x(a^-1 * x^2 - 3/2x + 9/4 a)

Irgendwas passt da weder vorn noch hinten. Könntest du nochmal die Funktion sorgfältig notieren inkl. richtiger Klammerung.

Ich denke mal:

Funktion und Ableitungen
f(x) = 1/(2·a)·x^3 - 3·x^2 + 9/2·a·x ; a > 0
f'(x) = 3/(2·a)·x^2 - 6·x + 9/2·a
f''(x) = 3/a·x - 6

Herauszufinden sind: a) Nullstellen b) Extremalpunkte c) Wendepunkte d) Ortskurve von Hochpunkten

Nullstellen f(x) = 0
1/(2·a)·x^3 - 3·x^2 + 9/2·a·x = 1/(2·a)·x·(x - 3·a)^2 = 0 → x = 0 ∨ x = 3·a (2-fach)

Extrempunkte f'(x) = 0
3/(2·a)·x^2 - 6·x + 9/2·a = 3/(2·a)·(x - a)·(x - 3·a) = 0 → x = a ∨ x = 3·a

Wendepunkte f''(x) = 0
3/a·x - 6 = 0 → x = 2·a

Comments

Oh, ja kein Problem.

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Deine zweite Zeile ist schon verkehrt. Du klammerst nur ein x aus

x·(1/(2·a)·x^2 - 3·x + 9/2·a)

oder auch noch 1/(2a)

1/(2·a)·x·(x^2 - 6·a·x + 9·a^2)

Jetzt ist die letzte Klammer günstiger Weise gleich eine binomische Formel

1/(2·a)·x·(x - 3·a)^2

Jetzt hast du es faktorisiert vorliegen und kannst die Nullstellen ablesen.

Answer 2

f(x) = 1/2a * x³ -3x² + 9/2ax Nullstellen:

0 = 1/2ax *( x² -6x/a + 9). Die Klammer: x² -6x/a + 9=0 mit pq-Formel: x_1/2=3/a±√(9/a²-9) ist nur reell, wenn 9/a²≥9 oder a≤1.