Die Aufgabe setzt offenbar \(a \ne 0\) voraus, was du hättest erwähnen sollen!
Wir betrachten also die ganzrationale Funktionenschar \(f_a\) vom Grade 3 mit $$f_a(x) = -ax^{3} +4ax \text{ und } a \ne 0.$$ Der Graph dieser Funktion ist symmetrisch zum Ursprung (warum?). Der Ursprung muss daher auch ihr einziger Wendepunkt sein (warum?). Die Gleichung der Wendetangente lässt sich dem Funktionsterm entnehmen und sie lautet \(y=4ax\) (Teil 1 von b)).
Ihre Steigung \(4a\) hat offenbar ein anderes Vorzeichen als der Leitkoeffizient \(-a\), so dass der Graph von \(f\) genau einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt besitzen muss (Begründung zu a)).
Soll für die Steigung der Wendetangente (Teil 2 von b)) \(4a=8\) gelten, so muss \(a=2\) sein.
Das alles lässt sich herleiten, ohne eine einzige Ableitung bilden zu müssen.
