Gib für die Funktion f(x)= 2x² -2x+4 die Scheitelpunktform an. In welchen Punkten schneiden sich die Parabeln?

Question

1. Gib für die Funktion f(x)= 2x² -2x+4 die Scheitelpunktform an.

2. Prüfe durch Rechnung, welche Lage die Gerade g:g(x) = 2x + 2 bzgl. der Parabel aus 1. hat. Bestimme auch die Koordinaten eventuell vorhandener gemeinsamer Punkte.

3. In welchen Punkten schneiden sich die Parabel aus 1. und die Parabel g(x) = -x² + 2x + 3?

Answer 1

1. Gib für die Funktion f(x) = 2x² -2x + 4 die Scheitelpunktform an.

f(x) = 2x² -2x + 4 = 2*(x² - x + 2) = 2*(x² - x + (1/2)^2 - (1/2)^2 + 2) = 2*((x - 1/2)^2 - 1/4 + 2) = 2*(x - 1/2)^2 + 7/2

2. Prüfe durch Rechnung, welche Lage die Gerade g:g(x) =2x+2 bzgl. der Parabel aus 1.1 hat.

f(x) = g(x)
2x² - 2x + 4 = 2x + 2
2x² - 4x + 2 = 0
x² - 2x + 1 = 0
(x - 1)^2 = 0
x = 1 ist eine Doppelte Nullstelle und damit eine Tangente an f.

Bestimme auch die Koordinaten eventuell vorhandener gemeinsamer Punkte.

g(1) = 2*1 + 2 = 4

3. In welchen Punkten schneiden sich die Parabel aus 2.1 und die Parabel g(x) = -x² +2x +3 ?

f(x) = g(x)

2x² - 2x + 4 = -x² + 2x + 3

3x² - 4x + 1 = 0

Lösen mit abc-Formel oder durch 3 teilen und pq-Formel.

x = 1/3 ∨ x = 1

Answer 2

1.1:

f ( x ) = 2 x ² - 2 x + 4

= 2 ( x ² - x ) + 4

= 2 ( x ² - x + 0,25 - 0,25 ) + 4

= 2 ( ( x - 0,5 ) ² - 0,25 ) + 4

= 2 ( x - 0,5 ) ² - 0,5 + 4

= 2 ( x - 0,5 ) ² + 3,5

Scheitelpunkt: S ( 0,5 | 3,5 )


1.2:

2 x ² - 2 x + 4 = 2 x + 2

<=> x ² - x + 2 = x + 1

<=> x ² - 2 x + 1 = 0

<=> ( x - 1 ) ² = 0

<=> x - 1 = 0

<=> x = 1

Die Parabel und die Gerade haben genau einen gemeinsamen Punkt, nämlich den Punkt  P ( x | g ( x ) ) = ( 1 | 4 ). Die Gerade ist also Tangente an die Parabel im Punkt P.


2.3:

2 x ² - 2 x + 4 = - x ² + 2 x + 3

<=> 3 x ² - 4 x + 1 = 0

<=> x ² - ( 4 / 3 ) x + ( 1 / 3 ) = 0

pq-Formel:

p = - ( 4 / 3 ) , q = ( 1 / 3 )

x1,2 = ( 2 / 3 ) +/- √ ( 4 / 9 - 1 / 3 )
x1 = ( 2 / 3 ) - √ ( 1 / 9 ) = ( 2 / 3 ) - ( 1 / 3 ) = 1 / 3

x2 = ( 2 / 3 ) + √ ( 1 / 9 ) = ( 2 / 3 ) + ( 1 / 3 ) = 1

Die beiden Parabeln schneiden sich also in den Punkten

P1 ( 1 / 3 | f ( 1 / 3 ) ) = ( 1 / 3 | 32 / 9 )

und

P2 ( 1 | f ( 1 ) ) = ( 1 | 4 )