Etwas einfacher ist es, wenn du versuchst die
Bilder der 3 kanonischen Basisvektoren zu bestimmen.
Etwa so
$$\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0\\2\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\3\\0 \end{pmatrix}$$also ist
$$f(\begin{pmatrix} 0\\3\\0 \end{pmatrix})=f(\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix})-f(\begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix})+f(\begin{pmatrix} 0\\2\\1 \end{pmatrix})$$$$=\begin{pmatrix} 3\\7\\1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3\\4\\2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1\\2\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1\\5\\0 \end{pmatrix}$$
Dann also auch:
$$f(\begin{pmatrix} 0\\3\\0 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} -1\\5\\0 \end{pmatrix}$$
bzw.
$$f(\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} -1/3\\5/3\\0 \end{pmatrix}$$
Entsprechend für die anderen (ist was einfacher)
$$f(\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix})=f(\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix})-f(\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix})$$
$$=\begin{pmatrix} 3\\7\\1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -1/3\\5/3\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 10/3\\16/3\\1 \end{pmatrix}$$
Jetzt brauchst du nur noch $$f(\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} -1/3\\-4/3\\1 \end{pmatrix}$$
und du hast die drei Spalten der Abbildungsmatrix
$$\begin{pmatrix} 10/3 & -1/3 &-1/3 \\ 16/3 & 5/3 & -4/3 \\ 1 & 0&1\end{pmatrix}$$