0 Daumen
437 Aufrufe

Aufgabe:

Matrix A ∈ ℝ3*3 bestimmen die zur linearen Abbildung f: ℝ3→ℝ3

f(\( \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \) )=\( \begin{pmatrix} 3\\7\\1\end{pmatrix} \)

f(\( \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \) )=\( \begin{pmatrix} 3\\4\\2\end{pmatrix} \)

f(\( \begin{pmatrix} 0\\2\\1 \end{pmatrix} \) )=\( \begin{pmatrix} -1\\2\\1 \end{pmatrix} \)


Problem/Ansatz:

\( \begin{pmatrix} a & b &c \\ d & e& f \\ g &h&i \end{pmatrix} \)  * \( \begin{pmatrix} 1 & 1 &0 \\ 1 & 0& 2 \\ 0 &1&1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 3&3&-1 \\ 7&4&2 \\ 1&3&1 \end{pmatrix} \)


a*1+b*1+c*0=3

a*1+b*0+c*1=3

a*0+b*2+c*1=-1

......


Wie löse ich die Gleichungen auf?

Avatar von

2 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Etwas einfacher ist es, wenn du versuchst die

Bilder der 3 kanonischen Basisvektoren zu bestimmen.

Etwa so

$$\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0\\2\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\3\\0 \end{pmatrix}$$also ist

$$f(\begin{pmatrix} 0\\3\\0 \end{pmatrix})=f(\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix})-f(\begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix})+f(\begin{pmatrix} 0\\2\\1 \end{pmatrix})$$$$=\begin{pmatrix} 3\\7\\1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3\\4\\2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1\\2\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1\\5\\0 \end{pmatrix}$$

Dann also auch:

$$f(\begin{pmatrix} 0\\3\\0 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} -1\\5\\0 \end{pmatrix}$$

bzw.

$$f(\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} -1/3\\5/3\\0 \end{pmatrix}$$

Entsprechend für die anderen (ist was einfacher)

$$f(\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix})=f(\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix})-f(\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix})$$

$$=\begin{pmatrix} 3\\7\\1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -1/3\\5/3\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 10/3\\16/3\\1 \end{pmatrix}$$

Jetzt brauchst du nur noch $$f(\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} -1/3\\-4/3\\1 \end{pmatrix}$$

und du hast die drei Spalten der Abbildungsmatrix


$$\begin{pmatrix} 10/3 & -1/3 &-1/3 \\ 16/3 & 5/3 & -4/3 \\ 1 & 0&1\end{pmatrix}$$

Avatar von 289 k 🚀

oder auch : Inverse A von

 \( \begin{pmatrix} 1 & 1 &0 \\ 1 & 0& 2 \\ 0 &1&1 \end{pmatrix} \)

bestimmen, und dann

\( \begin{pmatrix} 3&3&-1 \\ 7&4&2 \\ 1&3&1 \end{pmatrix} \)

mal diese Inverse ausrechnen.

0 Daumen

Ajee, Du bekommst 9 Gleichungen.

Zur Lösung eines linearen GLS kannst Du eines der 3 Verfahren einsetzen, die ihr sicher schon besprochen habt. Welches schwebt Dir vor? Wenn Du mit GLS arbeiten willst, solltest Du die einzelnen Abbildungsvorschriften in je ein 3x3 GLS schreiben.

Wenn Du mit Matrizen arbeiten willst, kannst Du Deinen Ansatz verwenden und mit der Inversen der Urbildvektoren arbeiten. Habt ihr die Inverse besprochen, sollte man anehmen, wenn es um lineare Abbildungen geht.

Avatar von 21 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community