Bestimmen Sie die Matrix A∈ℝ3, die zu einer linearen Abbildung ƒ: ℝ3 - ℝ3 gehört

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Matrix A∈ℝ³, die zu einer linearen Abbildung ƒ: ℝ³ -> ℝ³ gehört, mit

\( f\left(\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{l}3 \\ 7 \\ 1\end{array}\right), \quad f\left(\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{l}3 \\ 4 \\ 2\end{array}\right) \quad \) und \( \quad f\left(\left(\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{r}-1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Ich finde leider keinen Lösungsansatz. Habe YouTube etc. schon durchforstet aber komme der Lösung nicht näher.

Danke im Voraus!

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Du weißt ja, wie die Abbildung auf 3 Vektoren wirkt. Daher weißt du auch, wie die Abbildungsmatrix \(A\) auf diese 3 Vektoren wirkt:$$A\cdot\left(\begin{array}{r}1\\1\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}3\\7\\1\end{array}\right)\quad;\quad A\cdot\left(\begin{array}{r}1\\0\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}3\\4\\2\end{array}\right)\quad;\quad A\cdot\left(\begin{array}{r}0\\2\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}-1\\2\\1\end{array}\right)$$

Das können wir in einer Matrix-Gleichung zusammenfassen:$$A\cdot\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0\\1 & 0 & 2\\0 & 1 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}3 & 3 & -1\\7 & 4 & 2\\1 & 2 & 1\end{array}\right)$$

Durch Rechtsmultiplikation mit der Inversen erhalten wir die gesuchte Abbildungsmatrix:$$A=\left(\begin{array}{rrr}3 & 3 & -1\\7 & 4 & 2\\1 & 2 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0\\1 & 0 & 2\\0 & 1 & 1\end{array}\right)^{-1}=\frac13\left(\begin{array}{rrr}10 & -1 & -1\\16 & 5 & -4\\3 & 0 & 3\end{array}\right)$$

Comments

DANKE!!!

Ich hatte einen ähnlichen Ansatz, war mir aber nicht sicher :D Vielen Dank!

Answer 2

Du brauchst die Bilder der kanonischen Einheitsvektoren.

Die bilden die Spalten der Matrix.

Stelle also z.B. (1;0;0)^T dar durch die drei,

deren Bilder du kennst und rechne so das Bild von   (1;0;0)^T

aus.

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Danke für deine Antwort!

Wie stelle ich den Einheitsvektor durch die drei dar? Das ist glaube ich mein größtes Problem..

Answer 3

Hallo

finde die Bilder der Standardbasis Vektoren, sie ergeben die Spalten der gesuchten Matrix. als finde die Linearkombination  der 3 abgebildeten Vektoren, dei die Standardbasis geben die entsprechenden Linearkombination der Bilder sind dann die spalten.

Gruß lul

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Danke für deine Antwort!

Ich muss gestehen, ich verstehe nur Bahnhof...

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Hallo

a*(1,1,0)+b*(1,0,1)+c*(0,2,1)=(1,0,0) für den ersten Basisvektor

einfaches GS für a,b,c  daraus a=2/3 b=1/3 c=-1/3

damit ist die erste Spalte :2/3*(3,7,1)+1/3*(3,4,2)-1/3*(-1,2,1)

die 2 nächsten entsprechend.

lul