Wie sehen die Epsilon-Kugeln fuer die Metriken aus?

Question

Aufgabe:

Gegeben sind folgende Metriken auf C:

$$d(x,y)=|x-y|$$

$$d'(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}$$

$$d"(x,y)=min\{ |x-y|,1 \}$$

$$Untersuchen \space sie, \space wie \space die \space \epsilon-Kugeln \space aussehen.$$

Problem/Ansatz:

Wie skizziert man denn die Epsilon-Kugeln ueberhaupt?

Eine (offene) Epsilon-Kugel ist ja definiert als:

$$B_\epsilon(x)= \{ y \in X | d(x,y) < \epsilon \}$$

Mal angenommen, ich setze für die obige Aufgabe d(x,y) x=0, dann bekomme ich ja:

$$B_\epsilon(0)= \{ y \in C | \space |x-y|=|0-y|=|-y| < \epsilon \}$$

Jetzt setze ich beispielsweise mal Epsilon=1, was bekomme ich dann? Einen Kreis mit Radius 1 oder eine Linie entlang der imaginaeren Achse zwischen 1 und -1 (denn mein Realteil ist ja 0)?

Analog für d'(x,y) bekomme ich ja:

$$ B_\epsilon(0)= \{ y \in C | \space \frac{|-y|}{1+|-y|} < \epsilon \} $$

Auch hier: Wenn ich mein Epsilon=1 setze, was bekomme ich? Ganz C (die Ungleichung ist ja naemlich immer erfuellt)?

Ich bin leider von den metrischen Raeumen ziemlich verwirrt. Ueber Hilfe wuerde ich mich sehr freuen.

Answer 1

Hallo

hier stand kompletter Blödsinn, falls du es schon gelesen hast, vergiß es bitte. x,y sind Vektoren in C

Bε(0)  mit d(x,y)=|x-y| ist also einfach |y|<ε also ein Kreis mit Radius ε,  mt d'=|y|/(1+|y|)  also mit y=x+iy  d'=√(x^2+y^2)/(1+√(x^2+y^2)) hast du √(x^2+y^2)/(1+√(x^2+y^2))<ε also  √(x^2+y^2)<ε+ε√(x^2+y^2) für ε>=1 ist das die ganze komplexe Ebene für ε<1 ein Kreis mit Radius r= ε/(1-ε)

auch bei d'' musst du zwischen ε>1 und ε<1 unterscheiden,

Gruß lul

Comments

Ich hatte es noch nicht gelesen.

Deine Antwort jetzt hat mir auf jeden Fall geholfen. Vielen Dank!