Vollständige Induktion: Zeige die Formel zur Berechnung von Fakultäten

Question

Aufgabe: Vollständige Induktion

Zeigen Sie, dass für natürliche Zahlen k gilt

k!= \( \int\limits_{0}^{\infty} \) x^k*e^-x  dx

Ansatz:

Induktionsbehauptung:

k!= \( \int\limits_{0}^{\infty} \) x^(k)*e^(-x)  dx

Induktionsanfang:

Es sei zu zeigen, dass k=0 die Gleichung erfüllt.

Links: 0!=1

Rechts: \( \int\limits_{0}^{\infty} \) x^(k)*e^(-x)  dx

-> partielle Integration

f'(x)=x^k

g(x)=e^(-x)

f'(x)g(x)- \( \int\limits_{0}^{\infty} \) f(x)g'(x) dx

x^k*e^(-x) - \( \int\limits_{0}^{\infty} \)  x^(k)*(-e^(-x))

x^(k)*e^(-x)   +x^(k+1)/((k+1)*e^(-x))

e^(-x)*(x^(k+1) / k+1)

folglich rechts x^0*e^(-0)= 1?

Induktionsschritt:

Das wäre mein bisheriger Ansatz bzw. soweit bin ich gekommen. Könnte mir jemand bitte weiterhelfen?

Answer 1

Der Anfang ist ok

Induktionsanfang: Es sei zu zeigen, dass k=0 die Gleichung erfüllt.

Links: 0!=1

Rechts:   ABER HIER IST WAS FALSCH:

 \( \int\limits_{0}^{\infty} \) x^(k)*e^(-x)  dx

Es ist doch k=0  !!!!, also

 \( \int\limits_{0}^{\infty} \) x^0*e^(-x)  dx

 \(= \int\limits_{0}^{\infty} \) e^(-x)  dx

Und um das auszurechnen machst du erst mal

 \( \int\limits_{0}^{z} \) e^(-x)  dx

= - e ^(-x)  in den Grenzen von 0 bis z

= -e^(-z)  -  ( -e^0  )

= -e^(-z)  + 1

Der 1. Summand geht für z gegen unendlich gegen 0,

also ist der Grenzwert 1, also

 \( \int\limits_{0}^{\infty} \) e^(-x)  dx = 1

partielle Integration brauchst du beim Induktionsschritt !

Comments

ich habe meine gestrige Rechnung überarbeitet.

\( \int\limits_{0}^{\infty} \) x^0*e^(-x)=\( \int\limits_{0}^{\infty} \)  e^(-x) dx

= [-e^(-x)] mit den Integrationsgrenzen 0 bis unendlich

= - Unendlich -(-1)

=0+1=1

Ich habe es so aufgeschrieben, um für den rechten Term k=0 zu zeigen. Würde das auch so funktionieren?

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beim Induktionsschritt hätte ich:

IA gilt für k=k+1

(k+1)! = \( \int\limits_{0}^{\infty} \) x^(k+1)*e^(-x) dx

Das muss ich nun integrieren auf der rechten Seite?

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komme für die rechte Seite auf:

x^(k+1)*e^(-x)-\( \int\limits_{0}^{\infty} \) k*x^k*e^(-x) dx

=x^(k+1)*e^(-x)-k*x^(k+1)/(k+1) *(-e^(-x))

= die Stammfunktion: x^(k+1)*e^(-x)+k*x^(k+1)/(k+1)*e^(-x) dx in den Grenzen von 0 bis Unendlich

e^(-x) kann man ausklammern

e^(-x)*(x^(k+1)*k*x^(k+1)/(k+1)

Ist der Ansatz so ungefähr richtig? 

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Könnte mir da jemand behilflich sein? :D

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Das muss ich nun integrieren auf der rechten Seite?

Ja genau, und mal erst von 0 bis z und nachher

Grenzwert für z gegen unendlich.

Das stimmt bei dir aber nicht ganz, eher so

$$\int\limits_{0}^{z} x^{k+1}*e^{-x} dx$$
$$=[x^{k+1}*(-e^{-x})]_{0}^{z}  - \int\limits_{0}^{z} (k+1)*x^{k}*(-e^{-x}) dx$$
$$=z^{k+1}*(-e^{-z})-0  +(k+1)\int\limits_{0}^{z} x^{k}*e^{-x} dx$$
Und wenn du das jetzt für z gegen unendlich betrachtest
geht der 1. Summand gegen 0 ( e^z wächst schneller als Potenzen von z)
und das Integral geht nach Ind.vor. gegen k!, also hast du
= 0  + (k+1)*k!   =  (k+1)!    q.e.d.

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Gibt es da eine Regel bei der man weiss, was für die partielle Integration f'(x) und g(x) sein müssen oder existiert keine pauschale Regel?

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Man muss es immer so auswählen, dass das neu entstehende

Integral "einfacher" wird.

Manchmal ist das auf den ersten Blick gar nicht zu erkennen.

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Du hast g(x)=e^(-x) so gewählt, dass es am Anfang der abgeleitete Teil ist und du später integrieren musst. f(x)=x^(k+1) bleibt dagegen zu Beginn als f(x) und muss nur abgeleitet werden?

warum wäre es nicht sinnvoll diese Terme anders herum zu wählen?

f'(x)= e^(-x) und g(x}=x^(k+1)?

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weil durch das Ableiten von x^(n+1) etwas entsteht, auf das

ich die Induktionsvoraussetzung anwenden kann.

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der induktionsschluss müsste dann aber doch lauten

k!=(k+1)!

was aber nicht stimmen würde?

es war nämlich nach k!=.... gefragt?

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Du hast doch selber geschrieben (vor 10h)

beim Induktionsschritt hätte ich:

IA gilt für k=k+1

(k+1)! = \( \int\limits_{0}^{\infty} \) x^(k+1)*e^(-x) dx

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ja, wenn beliebige natürliche Zahlen k die Gleichung oben in der Aufgabe (s. Fragestellung) erfüllen, dann gilt dies auch für den Nachfolger und habe deshalb bei der Induktionsannahme für k=k+1 eingesetzt?

Muss man aber beim Induktionsschluss nicht dann k!=... hinschreiben, weil es darum ja bei der Aufgabe geht? (s. Frage)

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… dann gilt dies auch für den Nachfolger …

heißt doch hier:  Das Integral mit k+1 als Exponent

bei x hat den Wert (k+1)!.

Überall konsequent k+1 statt k

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wurde doch aber so gemacht, oder nicht?

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Eben, deshalb ist doch alles richtig.

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und dadurch ist auch automatisch die Behauptung?

k! = \( \int\limits_{0}^{\infty} \) x^(k)*e^(-x) dx bewiesen?

eben durch die Relation

(k+1)! = (k+1)*k!

?

Das käme in den Induktionsschluss?