Zeige: U ist Untergruppe von G, wenn ab^-1 in U

Question

Aufgabe:

Sei U nichtleere Teilmenge von G; Zeige: U ist Untergruppe von G genau dann, wenn für alle a,b aus U das Produkt ab^(-1) in U ist.

Problem/Ansatz:

Ich versteh die Grundaussage schon nicht so recht. Wieso ist U genau dann eine Untergruppe von G, wenn ab^(-1)? Ich seh den Zusammenhang da nicht... :(

Bin um jede Hilfestellung dankbar!

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie: U ist Untergruppe von G genau dann, wenn ...

Stichworte: teilmenge,beweis,untergruppe,gruppe

Aufgabe:

Sei U eine nichtleere Teilmenge einer Gruppe G. Zeigen Sie: U ist eine Untergruppe von G genau dann, wenn für alle a, b aus U das Produkt ab^-1 in U ist.

Answer 1

Wieso ist U genau dann eine Untergruppe von G, wenn ab^(-1)?

du hast was wichtiges vergessen:  wenn ab^(-1) in U für alle a,b aus U.

Dann hast du jedenfalls das neutrale Element e von G in U enthalten; denn

da U nicht leer ist (Das ist eine wichtige Voraussetzung.) gibt

es jedenfalls ein x∈U.  Nun hast du ja " ab^(-1) in U für alle a,b aus U"

und diese Eigenschaft wendest du an für a=x  und b=x  , dann gibt das

x * x^(-1)  ∈ U   und weil immer gilt   x * x^(-1) = e , also   e ∈ U .

Jetzt musst du nur noch zeigen, dass für alle  x∈U  auch  x^(-1)∈U ist.

Das bekommst du wieder mit der Aussage " ab^(-1) in U für alle a,b aus U"

hin.  Wähle einfach a=e  (Das ist ja nachgewiesen in U)  und b=x

Dann hast du e*x^(-1) ∈ U , also   x^(-1) ∈ U.