Es gibt keine positive (oder positive natürliche) Zahl die kleiner ist als 1/n - Archimedisches Prinzip ?

Question

in diesen äquivalenten Ungleichungen

1/3-1/n ≤ J ≤ 1/3+1/n

⇔ -1/n ≤ J-1/3 ≤ 1/n

sagt der Professor, 
dass

J-1/3 ≤ 1/n für jedes n ∈ ℕ.

und 

-1/n ≤ J-1/3 für jedes n ∈ ℕ.


Dann sagt er zu obigen Ungleichungen: 

das nenne man das Archimedische Prinzip welches besagt, dass
es keine Positive Zahl (echtgrösser Null) gibt, die kleiner ist als 1/n für jede natürliche Zahl.

Frage:
Kann mir jemand das was er da sagt vereinfacht erklären?

Eigene Idee:
Meint er etwa es gäbe keine Positive Zahl aus den Natürlichen Zahlen obwohl er es nicht sagt?

Denn dann wäre der Satz (so denk ich) wahr. Weil

1 ist nicht kleiner als 1/1 oder 1/2.....1/n.

Gegenbeispiel: 

0.5 wäre auch positiv und < 1/1.

Ergänzung:

Der Prof wendet obige Aussage (Archimedisches Prinzip) auf die obige Ungleichung an, 
und schlussfolgert, dass es eben, weil es keine Positive Zahl gibt die grösser ist als 1/n dass 
J - 1/3 = 0 ist. <--- (Wie kommt er da drauf ?) 

Und so mit J = 1/3 ist. 

 Kann mir das auch jemand erklären ?

Answer 1

es gäbe keine Positive Zahl aus den Natürlichen Zahlen    Ja,

die natürlichen Zahlen(  ℕ  )sind niemals negativ, da hast du vielleicht

was mit den "ganzen Zahlen  (ℤ)" verwechselt .

Und wenn eine Zahl für jedes n∈ℕ   zwischen

-1/n  und 1/n  liegt, also zwischen

-0,1   und   0,1    und  zwischen

-0,01   und   0,01   etc.

Dann ist es die 0.

Answer 2

Wenn dein Prof "positive Zahl" sagt, meint er nicht zwingend "natürliche Zahl".

Ich vermute mal, dass die Doppelungleichung 1/3-1/n ≤ J ≤ 1/3+1/n für alle natürlichen Zahlen n gelten soll. Dann ist es auch ohne Archimedes selbstverständlich, dass J=1/3 gelten muss.

Comments

Kannst du ein Beispiel zu dem machen, was du genau meinst ?

Ich sehr lauter positiven Zahlen die kleiner sind als 1/n

zb:

0,5

0,6

0,7

sind kleiner als 1/1

0.1,.....,0,4 < 1/2

etc...

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In der folgenden Abbildung habe ich einige Punkte [n|1/3-1/n] (untere Punktekette) und [n|1/3+1/n] (obere Punktekette) im Koordinatensystem dargestellt:

Man sieht, wie für wachsende n der Wert 1/3 immer enger eingeschachtelt wird.

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Roland, ich werde mir es anschauen wenn ich einen PC habe. Vielen Dank ! :)