Differenzierbarkeit von \(\sqrt{5\cdot\sqrt{x^2}}\)

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgende Funktion auf Differenzierbarkeit und bestimmen Sie gegebenenfalls
die Ableitung:

\(f:[0,∞[→ℝ\)  mit  \(f(x) = \sqrt{5\cdot\sqrt{x^2}}\)

Problem/Ansatz:

Für x = 0 ist die Funktion ja nicht differenzierbar.

Was soll man nun hier noch weiter machen? Ableiten könnte ich die Funktion ja dennoch?

Answer 1

Hallo Susanne,

f:[0,∞[->R mit f(x) = sqrt(5sqrt(x2)) 

 \( f(x) = \sqrt{5·\sqrt{x^2}}= \sqrt{5x}=\sqrt{5}·\sqrt{x}\)

ist in ] 0 , ∞ [  differenzierbar  mit  \(f '(x) = \frac{\sqrt{5}}{2·\sqrt{x}} \)

\( \lim\limits_{x\to0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\sqrt{5}·\sqrt{x}}{x}=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{x}}= ∞\)

→  f ist nicht differenzierbar in x=0

Gruß Wolfgang