Aufgabe:
Für a ≥ 0 heißt \( x = \sqrt { a } \) die Wurzel von a, falls \( x^2=a \). Gegeben seien die Folgen \( \left( a _ { n } \right) , \left( b _ { n } \right) , \left( c _ { n } \right) \) mit
$$\begin{array} { l l } { a _ { n } = \sqrt { n } - \sqrt { n - 1000 } , } & { n \geq 1000 } \\ { b _ { n } = \sqrt { n } - \sqrt { n - \sqrt { n } } , } & { n \geq 0 } \\ { c _ { n } = \sqrt { n } - \sqrt { n - \frac { n } { 1000 } } , } & { n \geq 0 } \end{array}$$
Zeigen Sie für \( 1000 \leq n < 1000000 \) gilt \( a _ { n } > b _ { n } > c _ { n } \), aber \( \lim _ { n \rightarrow \infty } a _ { n } = 0 , \lim _ { n \rightarrow \infty } b _ { n } = \frac { 1 } { 2 } \) und die Folge \( \left( c _ { n } \right) \) ist unbeschränkt.
