Geraden - windschief mit Parametern

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die von den Paramtern \(s, \, t \in \mathbb{R}\) (reelle Zahlen) abhängigen Geraden \(g_s, \, h_t \in \mathbb{R}^3\)

$$g_s = \begin{pmatrix} 1\\0 \\ s \end{pmatrix} + \mathbb{R}\begin{pmatrix} 1\\1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ h_t = \left\{ \begin{array}{} \begin{pmatrix} x\\y \\ z\end{pmatrix}& \left| \begin{array}{} \space x+ty-z= 0\\ -x+ty-z=0 \end{array} \right. \end{array} \right\}$$

a) Bestimme alle Werte von \(s, \, t \in \mathbb{R}\) für die \(g_s\) und \(h_t\) windschief sind.

Leider bin ich völlig überfordert was ich mit der Gerade \(h_t\) machen soll und finde auch in den Unterlagen nichts ähnliches, es wäre super wenn mir jemand helfen könnte.

Comments

Ok - das Ergebnis ist wahrscheinlich \(s \ne t\), aber ich habe jetzt keine Zeit für eine Antwort.

Answer 1

Dann schieb ich einen Tipp ein:

\(h_t\) stellt die Schnittgerade der beiden gegebenen (Ursprungs)Ebenen dar.

suche Schnittpunkt 

\(h_t ∩ g_s\)

x,y,z aus \(g_s\) einsetzen in \(h_t\)

\( \left\{ r \; t + r - s + 1 = 0, r \; t - r - s - 1 = 0 \right\} \)

GLS lösen ===>  \( \left\{  r = -1, s = -t   \right\} \)

===> Schnittpunktbedingung s=-t

und was hat Werner gesagt?

Comments

Vielen Dank für die Antwort, das habe ich soweit verstanden, aber dann müsste ich ja theoretisch noch prüfen ob sie nicht echt parallel sind dass es mathematisch korrekt ist oder? Lässt sich dies in der schreibweise überhaupt überprüfen oder müsste man dann eine Parameterdarstellung wählen, oder ist dies durch die schreibweise zu vernachlässigen?

Vielen lieben Dank :)

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Ja, gut mit gedacht :-)

Bilde die Differenz der beiden Gleichungen von h_t

===> x=0 ===> alle h_t müssen in dieser Ebene liegen ===> nicht || (r,r,0)
und die g_s sind ja quasi auch eine Ebene:

\( g_s =  \begin{pmatrix} 1\\0 \\ 0 \end{pmatrix} + \mathbb{R} \begin{pmatrix} 0\\0 \\ 1 \end{pmatrix} + \mathbb{R}\begin{pmatrix} 1\\1 \\ 0 \end{pmatrix} \)