Aufgabe 2: Diskrete Verteilungen und Erwartungswerte
Bezeichne \( (a, b) \) das Ergebnis beim Werfen von zwei Würfeln. Bestimmen Sie die Verteilungen und Erwartungswerte der folgenden drei Zufallsvariablen:
a) \( X(a, b)=|a-b| \)
b) \( Y(a, b)=(a-b)^{2} \)
c) \( Z(a, b)=a b \)
Aufgabe 3: Verteilungsfunktionen
Auf dem Wahrscheinlichkeitsraum \( \Omega=[0,1] \) mit Gleichverteilung betrachten wir eine diskrete Zufallsvariable \( X \) und eine stetige Zufallsvariable \( Y \), die für beliebige \( r \in[0,1] \) wie folgt definiert sind:
\( X(r)=\left\{\begin{array}{ll} 0 & \text { falls } r=0 \\ \left\lfloor\frac{1}{r}\right\rfloor & \text { sonst } \end{array} \quad Y(r)=\left\{\begin{array}{ll} 0 & \text { falls } r=0 \\ \frac{1}{r} & \text { sonst } \end{array}\right.\right. \)
a) Bestimmen Sie für die Variable \( X \) das Bild \( \operatorname{Im}(X) \), die (diskrete) Verteilung \( \operatorname{Pr}_{X} \) und die Verteilungsfunktion \( F_{X} \).
b) Bestimmen Sie für die Variable \( Y \) die Verteilungsfunktion \( F_{Y} \) und die zugehörige Dichtefunktion \( f_{Y} \).
