Antwort mit KI erzeugt
Lösung:
Um zu zeigen, dass keine der gegebenen Zahlen eine Primzahl ist, betrachten wir die Definition einer Primzahl. Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist.
Die gegebenen Zahlen sind:
\((n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, (n + 1)! + 4,..., (n + 1)! + (n + 1)\)
Hierbei ist \((n+1)!\) die Fakultät der Zahl \(n+1\), welche das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis \(n+1\) ist.
Um zu zeigen, dass diese Zahlen nicht prim sind, betrachten wir die Zusammensetzung einer jeden Zahl der Form:
\((n+1)! + k\), wobei \(2 \leq k \leq n+1\).
Beachten Sie, dass \((n+1)!\) definiert ist als \(1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot n\cdot(n+1)\).
Daraus folgt, dass für jedes \(k\), das in dem Bereich von 2 bis \(n+1\) liegt, der Ausdruck \((n+1)! + k\) auf folgende Eigenschaft untersucht werden kann:
1. Es ist klar, dass \((n+1)!\) durch jede Zahl zwischen 2 und \(n+1\) teilbar ist, da alle diese Zahlen Faktoren in der Berechnung von \((n+1)!\) sind.
2. Daher ist \((n+1)! + k\) durch \(k\) teilbar, weil \((n+1)!\) bereits ein Vielfaches von \(k\) ist (jedes \(k\) ist in \((n+1)!\) enthalten), und wenn wir \(k\) hinzufügen, bleibt die Teilbarkeit durch \(k\) erhalten.
Dies bedeutet, dass \((n+1)! + k\) mindestens zwei verschiedene Teiler hat: \(1, k\) und sich selbst. Allerdings weist die Teilbarkeit durch \(k\) nach, dass mehr als diese beiden Teiler existieren, was bedeutet, dass diese Zahl nicht prim sein kann, da Primzahlen ausschließlich durch 1 und sich selbst teilbar sind.
Zusammengefasst zeigt dies, dass keine der Zahlen in der Sequenz \((n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, (n + 1)! + 4,..., (n + 1)! + (n +1)\) Primzahlen sein können, da jede dieser Zahlen mindestens einen weiteren Teiler neben 1 und sich selbst hat, was der Definition einer Primzahl widerspricht.
