Lineare Unabhängigkeit - Summe von Vektoren

Question

kann mir jemand sagen, ob man das so machen kann und ob das richtig ist? (Die Indexe konnte ich leider in der Summe nicht richtig darstellen, da hat er mir sonst die Summe nicht mehr richtig dargestellt).

Vielen Dank vorab. :)

Aufgabe:

Seien a₁,..,a_k ∈R³ und sei b_i := \( \sum\limits_{j=1}^{i}{aj} \) , i=1,..,k. Zeigen Sie: Die Vektoren a₁,...,a_k sind linear unabhängig g.d.w. b₁,..,b_k linear unabhängig sind

Problem/Ansatz:

Ich habe mir überlegt dies vielleicht per Induktion zu zeigen? 

Seien (a₁,...,a_j) für alle j linear unabhängig. 
1) Für i = 1: a₁ = b₁ (nach Definition linear unabhängig)
2) Seien (b₁,...,b_i) linear unabhängig. Angenommen (b₁,...,b_i+1) sind linear unabhängig, dann muss b_i+1 ∈ < b₁,...,b_i > gelten. 

Also: b_i+1 = \( \sum\limits_{j=0}^{i}{aj * λj} \) => a₁ + ... + a_i+1 = \( \sum\limits_{j=0}^{i}{aj * λj} \). 

=> a_i+1 = \( \sum\limits_{j=0}^{i}{aj * λj - (a1 + ... + ai)} \) => (a₁, .., a_i+1) sind linear unabhängig. 

Annahme ist falsch => (b₁,...,b_i+1) sind linear unabhängig.

Answer 1

Angenommen (b₁,...,b_i+1) sind linear unabhängig

Ich vermute du meinst

        Angenommen (b₁,...,b_i+1) sind linear abhängig.

dann muss b_i+1 ∈ < b₁,...,b_i > gelten. 

Beispiel: i := 1, b₁ := 0, b₂ := 1. Dann ist b₂ nicht im Erzeugnis von {b₁}.

Warum in deinem Fall trotzdem b_i+1 ∈ < b₁,...,b_i > gilt, musst du deshalb begründen. Die Definition der linearen Abhängigkeit reicht dazu nicht aus. Die gibt nämlich nur

         "Es gibt ein b_k, dass sich als Linearkombination der anderen darstellen lässt"

her, und nicht

        "Jedes b_k lässt sich als Linearkombination der anderen darstellen."

b_i+1 = ∑_j=0..i a_j·λ_j

Sobald du obiges Problemn repariert hast, ist auch das richtig. Trotzdem solltest du noch begründen, warum da auf ein mal a_j in der Summe steht, anstatt b_j.

Außerdem ist die untere Summationsgrenze 1, nicht 0. a₀ und b₀ gibt es nicht.

(a₁, .., a_i+1) sind linear unabhängig. 

Auch hier vermute ich, dass du linear abhängig meinst.

Außerdem fehlt noch die Schlussfolgerung

        (b₁, ..., b_i) linear unabhängig ⇒ (a₁, ..., a_i) linear unabhängig.

Die lässt sich aber auf den Fall

        (a₁, ..., a_i) linear unabhängig ⇒ (b₁, ..., b_i) linear unabhängig

zurückführen.

Comments

Vielen Dank für deine ausführliche Rückmeldung! 

Wie sieht die Begründung für "Warum in deinem Fall trotzdem bi+1 ∈ < b1,...,bi > gilt, musst du deshalb begründen" aus? Leider habe ich da keinen Ansatz..

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Weil b₁,...,b_i linear unabhängig sind und b₁,...,b_i+1  linear abhängig sind.

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Vielen Dank für die Rückmeldung! Eine Frage hätte ich jedoch noch: Ich argumentiere in dem Beweis damit, dass es linear abhängig sei. Folge ich dann einfach aufgrunddessen und der negation daraus, dass dann auch gelten muss, dass wenn (b₁, .., b_i) linear unabhängig ist => (a₁, .., a_i) linear unabhängig ist. 

Der umgekehrte Fall wäre ja im Prinzip nur das gleiche nur umgedreht, oder? Und daher muss auch das gelten? 

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dass es linear abhängig sei.

Worauf bezieht sich "es"?

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Dass "Angenommen (b1,...,bi+1) sind linear abhängig" gilt.

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Achso, ich zeige ja, dass die Annahme falsch ist und b_i,..,b_i somit linear unabhängig ist. Aber bezüglich der Schlussfolgerung von a_i komme ich noch nicht weiter..