Zeigen Sie: (a) U ∩ W ≤_K V . (b) U + W ≤_K V .

Question

Seien K ein Körper, V ein K-Vektorraum und seien weiter U, W ≤_K V .

Zeigen Sie:

(a) U ∩ W ≤_K V .
(b) U + W ≤_K V .

Answer 1

(a) Seien v,w ∈ U∩W und a∈K.

Begründe warum v+w ∈ U∩W und av ∈ U∩W sind.

Begründe warum U∩W ≠∅ ist indem du ein Element angibst, dass in U∩W enthalten ist.

(b) Analog zu (a)

Übrigens gibt es zwei gängige Definitionen von Untervektorraum:

• Ein Untervektorraum ist eine Teilmenge, die mit den auf diese Teilmenge eingeschränkten Operationen des Vektorraumes ein Vektorraum ist.
• Ein Untervektorraum ist eine nicht-leere Teilmenge, in der die auf diese Teilmenge eingeschränkten Operationen des Vektorraumes abgschlossen sind.
  

Beide Definitionen führen zu den gleichen Untervektorräumen. Die jeweils andere Aussage wird dann als Satz bewiesen. Ich gehe davon aus, dass du das schon gemacht hast. Falls nicht, dann mpüsstest du angeben, welche der Definitionen du verwendest.