Bestimmen der linearen Abbildung von A

Question

Ich war gerade dabei meine Aufgaben für HöMa1 zu bearbeiten als ich auf diese Problem gestoßen bin:

Aufgabe:

Seien x₁=\( \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \), x₂=\( \begin{pmatrix} 2\\2\\0 \end{pmatrix} \) und x₃=\( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \).

Bestimmen Sie die lineare Abbildung für A, für die

A(x₁)=\( \begin{pmatrix} 3\\1\\4 \end{pmatrix} \), A(x₂)=\( \begin{pmatrix} 4\\4\\2 \end{pmatrix} \) und A(x₃)=\( \begin{pmatrix} 4\\3\\4 \end{pmatrix} \) gilt.

Ich habe zuvor bereits gezeigt das es sich bei {x₁,x₂,x₃} um eine Basis des R³ handelt. Leider habe ich bei diesem Aufgabenteil absolut keine Ahnung wie ich dies lösen soll.

Mit freundlichen Grüßen

Answer 1

  $$\text{ Versuche mal den Vektor  }\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}\text{ mit dieser Basis darzustellen  }$$

Das gibt wohl

(x-y)*x1 +(x/2 - z/2)* x2 +(-x+y+z)  * x3

Also ist das die lineare Abb. A mit

$$A(\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix})=(x-y)* \begin{pmatrix} 3\\1\\4 \end{pmatrix} +(x/2 - z/2)* \begin{pmatrix} 4\\4\\2 \end{pmatrix}  +(-x+y+z) * \begin{pmatrix} 4\\3\\4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x+y+2z\\2y+z\\x+3z \end{pmatrix}$$

Comments

Danke für die schnelle Antwort. Könntest du eventuell kurz erklären wie du das mit der Basis darstellen meinst? Also wie bist du auf (x-y)*x1+(x/2-z/2)*x2+(-x+y+z)*x3 gekommen?

Mit freundlichen Grüßen

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Einfach nur aus dem  Gleichungssystem

 x
y       = a*x1  + b*x2   + c*x3    
z

die Werte von a, b und c ausrechnen.