Zeigen Sie φ = φ(bi)b*i bei einer linearen Abbildung

Question

Aufgabe:

Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum mit Basis B = (b₁, . . . , b_n) über dem Körper K. Sei v_B : V → Kⁿ die Abbildung, die jedem x ∈ V seine Koordinatendarstellung bezüglich B zuordnet. Sei B^∗ = (b^∗₁, . . . , b^∗_n) die zu B duale Basis des Dualraumes V*.

Sei φ : V → R eine lineare Abbildung. Zeigen Sie φ = \( \sum\limits_{n}^{i=1} \)φ(b_i)b^∗_i.

Problem/Ansatz:

Ich hätte mir gedacht, φ=a₁b^*₁+...+a_nb*_n. Stimmt das? Kann ich dann irgendwie zeigen, dass a_i = φ(b_i) ist, oder ist das ein ganz falscher Ansatz?

Comments

In Deinem Ansatz steckt die Information, dass \(B^{\ast}\) ein Basis von \(V^{\ast}\) ist. Diese Information ist schon im Aufgabentext enthalten, ist also richtig und kann verwendet werden. Tatsächlich brauchen also nur noch die Koeffizienten bestimmt werden. Dazu setzt Du die \(b_i\) auf beiden Seiten Deines Ansatzes ein....

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Danke, jetzt habe ich es verstanden!

Answer 1

Dein Ansatz ist genau das, was du eigentlich zeigen sollst.

Lineare Abbildungen sind eindeutig durch ihre Wirkung auf eine Basis bestimmt.

\(\sum_{i=1}^n\varphi(b_i)b_i^\star (b_k) = \sum_{i=1}^n\varphi(b_i)\delta_{ik} =\varphi(b_k) \)

Fertig.