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Aufgabe:

Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum mit Basis B = (b1, . . . , bn) über dem Körper K. Sei vB : V → Kn die Abbildung, die jedem x ∈ V seine Koordinatendarstellung bezüglich B zuordnet. Sei B = (b1, . . . , bn) die zu B duale Basis des Dualraumes V*.

Sei φ : V → R eine lineare Abbildung. Zeigen Sie φ = ni=1 \sum\limits_{n}^{i=1} φ(bi)bi.


Problem/Ansatz:

Ich hätte mir gedacht, φ=a1b*1+...+anb*n. Stimmt das? Kann ich dann irgendwie zeigen, dass ai = φ(bi) ist, oder ist das ein ganz falscher Ansatz?

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In Deinem Ansatz steckt die Information, dass BB^{\ast} ein Basis von VV^{\ast} ist. Diese Information ist schon im Aufgabentext enthalten, ist also richtig und kann verwendet werden. Tatsächlich brauchen also nur noch die Koeffizienten bestimmt werden. Dazu setzt Du die bib_i auf beiden Seiten Deines Ansatzes ein....

Danke, jetzt habe ich es verstanden!

1 Antwort

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Dein Ansatz ist genau das, was du eigentlich zeigen sollst.

Lineare Abbildungen sind eindeutig durch ihre Wirkung auf eine Basis bestimmt.

i=1nφ(bi)bi(bk)=i=1nφ(bi)δik=φ(bk)\sum_{i=1}^n\varphi(b_i)b_i^\star (b_k) = \sum_{i=1}^n\varphi(b_i)\delta_{ik} =\varphi(b_k)


Fertig.

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