Steckbriefaufgaben 3.Grades

Question

Wir hätten gerne eine ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph in W(0/1) einen Wendepunkt und ein Maximum in M(1/2) hat.

Als erstes habe ich die allgemeine Funktionsgleichung gestellt, die f(x)= ax³ +bx² +cx+d lautet. Ab hier weiss ich nicht ,was ich machen soll

Answer 1

Wendepunkt: f(0)=1; f''(0)=0
Maximum: f(1)=2; f'(1)=0

Diese Werte setzt du jetzt für dein x in jeweils eine Gleichung ein, sodass du am Ende ein LGS hast, das du dann lösen kannst.

Z.B. für den Wendepunkt:

$$a\cdot0^3+b\cdot0^2+c\cdot0+d=1 \Rightarrow d=1$$$$6a\cdot0+2b=0 \Rightarrow b=0$$

Bei dem Maximum kannst du nun schon die Werte für b und d einsetzen.

Answer 2

3.Grad Graph in W\((0|1)\) einen Wendepunkt und ein Maximum in H\((1|2)\)

Hieraus folgt ein Minimum in T\((-1|0)\) doppelte Nullstelle:

\(f(x)=a(x+1)^2(x-N)\) 

H\((1|2)\):

\(f(1)=a(1+1)^2(1-N)=4a(1-N)=2\)

\(a=\frac{2}{4(1-N)}=\frac{1}{2-2N}\)

\(f(x)=\frac{1}{2-2N}(x+1)^2(x-N)\)

Wendepunkt W\((0|1)\):

\(f(0)=\frac{1}{2-2N}(0+1)^2(0-N)=\frac{1}{2-2N}(-N)=\frac{N}{2N-2}=1\)

\(N=2\)         \(a=-\frac{1}{2}\)

\(f(x)=-\frac{1}{2}(x+1)^2(x-2)\)

Answer 3

Zur Hilfe und Selbstkontrolle empfehle ich:

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Eigenschaften

f(0) = 1
f''(0) = 0
f(1) = 2
f'(1) = 0

Gleichungssystem

d = 1
2b = 0
a + b + c + d = 2
3a + 2b + c = 0

Wenn man b = 0 und d = 1 in die III und IV Gleichung einsetzt hat man nur noch 2 Gleichungen mit 2 unbekannten was recht einfach lösbar ist.

Ich erhalte zur Kontrolle die folgende Funktion:

f(x) = -0,5·x^3 + 1,5·x + 1

Comments

Das will keiner wissen und die Frage stammt aus dem Jahr 2018!

---

Ach. Da war ich wohl wieder mal auf eine von Moliets ausgegrabene Frage reingefallen. Aber da hier noch keine Kontroll-Lösung ersichtlich war, habe ich mir erlaubt sie anzufügen.