wie kann man solche werte finden?

Question

Aufgabe: dim&Vektorräume

Wir betrachten den R-Vektorraum V = R6 mit dem 4-dimensionalen Untervektorraum U1 = span(e1,e2, e3,e4). Es sei nun U2 ein weiterer 4-dimensionaler Untervektorraum von V .
Welche Werte sind für dim(U1 ∩U2)möglich? Begründen Sie ihre Antwort und geben Sie für jeden möglichen Wert von dim(U1 ∩ U2) explizit einen Unterraum U2 an, der diesen Wert realisiert.

Answer 1

Es gilt:

dim(U1 ∩U2) + dim(U1 + U2) = dim(U1) + dim(U2).

Du kennst ja dim(U1)=4  und  dim(U4)=4  , also

dim(U1 ∩U2) + dim(U1 + U2) = 4 + 4

<=> dim(U1 + U2) = 8 -  dim(U1 ∩U2)

Nun spielt sich ja alles in R^6 ab, also muss dim(U1 + U2) ≤ 6 gelten

also    4 + 4 -  dim(U1 ∩U2)   ≤ 6

<=>      2     ≤   dim(U1 ∩U2)

Andererseits ist   U1 ∩U2 ein Teilraum von U1, also

           2      ≤   dim(U1 ∩U2)  ≤  4

Es gibt also nur die Fälle

     4 :            U1=U2

    3 :       z.B.  U2 wird aufgespannt von e1,e2, e3 und e5

     2:       z.B.  U2 wird aufgespannt von e1,e2 und e5,e6