Extremwertaufgaben "Dreieck unter Parabel"

Question

Aufgabe:

ich benötige eure Ideen/Ansätze zur folgenden Aufgabe:

Der Punkt R (x|y) liegt für - 1<= x <=1 auf der Parabel g mit g(x) = \( \frac{4}{3} \)x² 

Die Parallele zur y-Achse schneidet die Gerade h mit h=\( \frac{4}{3} \) im Punkt S. Die Punkte R, S und T(1|\( \frac{4}{3} \)) begrenzten das Dreieck gemäß Skizze.

Bestimme die Koordinaten ded Punktes R, sodass der Flächeninhalt des Dreiecks maximal wird.

Problem/Ansatz:

Ich habe bislang leider keinen zielführenden Ansatz gefunden, hoffe auf eure Hilfe. 

Answer 1

Du weisst:

1. Punkt R liegt auf der Parabel

2. Die Parabel hat die Gleichung g(x)=4/3x^2

3. Ein Dreieck berechnet sich mit Grundlinie mal höhe dividiert in zwei. In diesem Falle also: Strecke ST multipliziert mit (4/3-g(x)) dividiert in zwei, also:
$$A(x)= \frac{\overline{ST}\cdot (\frac{4}{3}-g(x))}{2}$$

Diese Funktion muss wiederum Maximal werden. Das heisst also wir leiten A(x) einmal ab und setzen dies gleich null. $$A'(x)=0$$

Du solltest dann 1 oder zwei x werte bekommen, bei denen die Fläche Maximal oder Minimal ist.

Ich hoffe ich konnte dir helfen.

(zusammengefasst: https://www.wolframalpha.com/input/?i=(derivate+((2*(4%2F3-4%2F3x%5E2))%2F2)%3D0 )

Comments

Den Ansatz kann ich nachvollziehen. Aber wie leite ich A(x) jetzt ab? Und was mache ich mit der Stecke ST?

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Zuerst die Strecke: Allgemein: Eine Strecke ist ein 1-Dimensionaler Wert, dass heisst wir müssen zuerst mal die Strecke von zwei Dimensionen in eine Dimension mithilfe von Vektorzerlegung und danach dem Satz des Pythagorases zerlegen.

In diesem Beispiel können wir das uns Sparen, da deiner Zechnung an S den Wert 4/3 als Y und somit -1 als X hat. (Du hast das S nicht angegeben. ) Somit geht die Strecke nur in X-RICHTUNG von -1 bis zu +1. also ist die Strecke = 2.

Zum Ableiten:

Wir schreiben anstelle von dem, was ich geschrieben habe:

$$A(x) = \frac{2 \cdot( \frac{4}{3}-\frac{4}{3} \cdot x^2)}{2} =  \frac{4}{3}-\frac{4}{3} \cdot x^2$$

Zum ableiten: Wir dürfen Summen getrennt ableiten, somit fällt der erste 4/3 weg. Dann steht noch $$-\frac{4}{3} \cdot x^2$$ Wir verringern die Potenz um eins und nehmen den Ausganswert an. Also: $$A'(x)=-\frac{8}{3} \cdot x$$