Zeigen Sie, dass die Funktion f : [0, 1]×[0, ∞) → R mit f(x, y) = x^2 (1−x)y^2 e^−y ein globales Maximum besitzt

Question

Aufgabe:

$$\begin{array} { l } { \text {Zeigen Sie, dass die Funktion } f : [ 0,1 ] \times [ 0 , \infty ) \rightarrow \mathbb { R } \text { mit } f ( x , y ) = x ^ { 2 } ( 1 - x ) y ^ { 2 } e ^ { - y } \text { ein globales } } \\ { \text {Maximum besitzt. } } \\ { \text {(Hinweis: Dafür müssen Sie nicht notwendigerweise die Hesse-Matrix berechnen.) } } \end{array}$$

Problem/Ansatz:

Wie habe ich vorzugehen. Reicht es die Nullstellen zu bestimmen um dann mit der zweiten Ableitung zu überprüfen, ob es sich um ein Maximum handelt?

Answer 1

Die Funktion hat im angegebenen Bereich keine positiven Funktionswerte (warum?), aber es gibt eine Stelle mit dem Funktionswert 0.

Damit sollte die Frage zur Existenz eines globalen Maximums gegessen sein.

Comments

Sie hat keine positiven Funktionswerte wegen e^-y und für x=0, y=0 und x=1 ist der Funktionwert 0. Vielen Dank!

---

"Sie hat keine positiven Funktionswerte wegen e^-y"

Das geht am Kern vorbei. Die Faktoren e^-y, y² und x² sind positiv oder Null.

Der Faktor (1-x) ist im angegebenen Bereich aber NEGATIV (oder 0).

---

Ich verstehe nicht, x ist doch aus [0,1]. Dann ist (1-x) immer zwischen 0 und 1

---

Ich bin irgendwie unkonzentriert von (x-1) statt von 1-x ausgegangen. Damit sind natürlich alle 4 Faktoren nichtnegativ, und meine Argumentation bricht zusammen.

Neuer Versuch: x²(1-x) hat ein lokales Maximum zwischen x=0 und x=1.

y²e^−y hat ein lokales Maximum  zwischen y=0 und unendlich.

Das Produkt beider Terme hat dann ein Maximum dort,wo sich das x-Maximum und das y-Maximum treffen.

---

Vielen Dank!