Zeige polynomiale Funktion besitzt ein Minimum

Question

Aufgabe:

Sei p: R → R eine polynomiale Funktion, welche nur positive Werte annimmt. Zeigen Sie, dass p ein Minimum besitzt.

Ich denke, ich soll das mit dem Satz vom Maximum und Minimum lösen, weiss jedoch nicht wie.

Answer 1

Sei p: R → R eine polynomiale Funktion

Dann gilt lim_x→∞ f(x) = ∞ oder lim_x→∞ f(x) = -∞.

welche nur positive Werte annimmt.

Dann kann lim_x→∞ f(x) = -∞ nicht sein, weil es dazu ein x ∈ℝ geben müsste, so dass f(x) < 0 ist.

Also ist

        lim_x→∞ f(x) = ∞.

Analog dazu ist auch

        lim_x→-∞ f(x) = ∞.

Angenommen f(0) ist nicht das Minimum. Sei dann x₁ ∈ ℝ, so dass

        f(x₁) = f(0) und f(x) > f(x₁) für alle x < x₁.

x₁ existiert wegen lim_x→-∞ f(x) = ∞. Ferner sei x₂ ∈ ℝ, so dass

        f(x₂) = f(0) und f(x) > f(x₂) für alle x > x₂.

x₂ existiert wegen lim_x→∞ f(x) = ∞. Laut dem Satz vom Maximum und Minimum bestitzt f ein Minimum im Intervall [x₁, x₂].

Laut Definition von x₁ und x₂ ist dieses Minimum ein absolutes Minimum von f auf ℝ.

Comments

Hat mir extrem weitergeholfen!