Für a1,…,ak∈R ist (a1,…,ak) das kleinste Ideal, das a1,…,ak enthält.
Dazu musst du doch nur zeigen:
1. Jedes Ideal, das a1,…,ak enthält,
enthält auch ganz (a1,…,ak) .
2. (a1,…,ak) ist ein Ideal.
zu 1.: Sei I ein Ideal, das alle a1,…,ak
und sei x ∈ (a1,…,ak) .
==> Es gibt r1,…,rk∈R mit
x = r1a1+…+rkak
Dann gilt für jedes i∈1,...,k} riai ∈ I,
weil ai∈ I und der 2. Eigenschaft der Ideale.
Da I ,+ eine (Unter)gruppe ist, ist auch die
Summe der riai ∈ I, also x ∈ I.
zu 2. : Seien x,y ∈ (a1,…,ak)
Dann gibt es r1,…,rk∈R und s1,…,sk∈R
mit x = r1a1+…+rkak und y = s1a1+…+skak
==> x+y = (r1+s1)a1+…+(rk+sk)ak und die
Werte in der Klammer sind , weil R ein Ring ist,
auch alle in R.
Nenne die Werte in den Klammern ti für i=1,...,k
Also gibt es t1,…,tk∈R
mit x+y = t1a1+…+tkak, also ist (a1,…,ak)
additive Gruppe .
Sei nun x ∈ (a1,…,ak) und r∈R .
Dann gibt es r1,…,rk∈R x = r1a1+…+rkak
==> r*x = r*r1a1+…+r*rkak .
Nenne die r*ri = ti für alle i=1,...,k
Also gibt es t1,…,tk∈R mit
rx= t1a1+…+tkak, also ist zweite
Idealeigenschaft auch erfüllt.
