Sei k eine feste natürliche Zahl: Was ist lim n->∞ von n^k / 2^n?

Question

Zur Zeit bin ich mit folgender Aufgabe überfordert:

Sei k eine feste natürliche Zahl. Was ist:

$$ \lim \limits _ { n \rightarrow \infty } \frac { n ^ { k } } { 2 ^ { n } } $$

Wenn es geht, bitte nur Ansätze, weil ich es gerne selber schaffen würde, aber gerade einfach nur eine Denkblockade habe.

Comments

was steht im Zähler wenn ich n^k k mal ableite und was steht im Nenner wenn ich 2^n k mal ableite.

Im Zähler steht dann k! und im Nenner steht dann 2^n * ln(2)^k

Jetzt steht im Zähler ein kostanter Term und der Nenner geht immer noch gegen unendlich. Daher geht der gesamte Term gegen 0.

Wir zeichnen mal die ersten 4 Funktionen für k von 1 bis 4. Zumindest für diese Funktionen kann man auch gut sehen, dass sie gegen 0 gehen.

 

Answer 1

Wenn wir die Regel von L’Hospital hier mehrfach anwenden steht im Zähler ein irgendwann ein konstanter Term und im Nenner weiterhin unendlich.

Daher geht der Term gegen 0 für n gegen unendlich.

Comments

Kannst du das ausführlicher erklären? Ist da lim nicht 1/2?

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Wenn ich die Regel von L´Hospital anwende und den nenner immer wieder ableite kommt erst 2^n log2 dann 2^n log2^2 u.s.w. Also da bleibt immer ein 2^n stehen und deswegen kein konstanter term? oder blick ich da gerade nix

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Mir kommt da 1/2 nach Quotientenkriterium raus. Dann ist es wahrscheinlich falsch. ;/

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1/2 ist richtig, wenn du da das quotientenkriterium anwendest, das sagt aber nur, dass die reihe konvergiert. hier ist jetzt die frage, gegen was das konvergiert.

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uns hat der übungsleiter heute das letzte übungsblatt vorgerechnet und da hat er auch durch das quotientenkriterium den grenzwert rausbekommen.. diese Regel von L' Hospital haben wir bisher noch nicht gehabt, deshalb wäre es nicht so ganz richtig die einfach anzuwenden

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und wie lautete der Grenzwert?