Kurvenlänge, Ergänzungen zur Integralrechnung

Question

Aufgabe:

Eine Kette wird in den Punkten P und Q aufgehängt. Die Form der Kette entspricht dem Graphen der Funktion f mit f(x)=(a/2)*{[(e^(x/a)]+[(e^(-x/a)]} im Intervall [-b; b] ("Kettenlinie").

Berechne die Länge der Kette!

Problem/Ansatz:

Zur Berechnung der Kurvenlänge s haben wir immer die Formel s=Integral der Wurzel von (1+[f'(x)]^2) dx verwendet. Wie man von der gegebenen Funktion die Ableitung bilden kann ist mir allerdings unklar. Außerdem soll die Lösung laut Lösungsheft a*{e^(b/a)]+[e^(--b/a)]} sein. (also nur b in f eingesetzt und mit 2 multipliziert) erscheint mir relativ einfach; Kann man hier irgendetwas substituieren um das Ganze zu vereinfachen. Freue mich schon auf Anregungen

Answer 1

f(x) = 0.5·a·e^(x/a) + 0.5·a·e^(- x/a)

f'(x) = 0.5·e^(x/a) - 0.5·e^(- x/a)

f'(x)^2 = 0.25·e^(2·x/a) + 0.25·e^(- 2·x/a) - 0.5

1 + f'(x)^2 = 0.25·e^(2·x/a) + 0.25·e^(- 2·x/a) + 0.5

√(1 + f'(x)^2) = 0.5·e^(x/a) + 0.5·e^(- x/a)

Den Rest schaffst du bestimmt spielend alleine oder?

s = ∫ (-b bis b) (0.5·e^(x/a) + 0.5·e^(- x/a)) dx = a·e^(b/a) - a·e^(- b/a)

Comments

Danke für die rasche Antwort zu solch später Stunde. Super :) Nun kommt endlich das richtige Ergebnis raus. Tausend Dank, weiter so.