Restgliedabschätzung von 2/(1-x)^3 so korrekt?

Question

$$Aufgabe:\\ Approximieren\quad Sie\quad g\quad =\quad g(x)=\frac { 1 }{ { (1-x) }^{ 2 } } \quad mit\quad dem\quad Taylorpolynom\quad 1.\quad Grades\quad um\quad den\quad Entwicklungspunkt\quad x0\quad =\quad 4\\ und\quad schätzen\quad Sie\quad das\quad Restglied\quad von\quad g(x)=\frac { 2 }{ { (1-x) }^{ 2 } } \quad auf\quad dem\quad Intervall\quad [-2,5]\quad ab.\\ \\ Lösung:\\ Mir\quad geht\quad es\quad hier\quad nur\quad um\quad das\quad Restglied,\quad das\quad andere\quad ist\quad kein\quad Problem.\\ \left| { R }_{ 1 }(x) \right| =\left| \frac { 6 }{ { (1-c) }^{ 4 } } (x-x0) \right| =\left| \frac { 6 }{ { (1-c) }^{ 4 } } (x-4) \right| =\left| \frac { 6 }{ { (1-c) }^{ 4 } } (x-4) \right| <=\left| \frac { 6 }{ { (1-3) }^{ 4 } } (-2-4) \right| =\left| \frac { 6 }{ 16 } (-6) \right| =\frac { 36 }{ 16 } \quad \quad ?$$

Answer 1

Hallo Anja,

g(x) = 1/(1-x)²  hat bei x=1 eine Polstelle.
g(x) nimmt im Intervall  [ -2 ; 5 [  deshalb unbeschränkt große Werte an , so dass eine Restgliedabschätzung über diesem Intervall wohl nicht möglich ist.

https://de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Formel#Definitionen_und_Satz
g(x) = 1/(1-x)²  ist  für x=1 nicht definiert und deshalb auch nicht in [-2 ; 5]  stetig differenzierbar.
Deshalb macht eine Taylorentwicklung mit x₀ = 4  wohl nur in ] 1, ∞ [  Sinn.

Gruß Wolfgang

Comments

Stimmt du hast recht danke dir.

Ich hätte aber noch eine Frage und zwar kann man ja nach oben und nach unten Abschätzen. Nehmen wir mal an wir hätten 5c(x-2)^2 mit c∈[-10,1]

Wäre dann c= -10 zu wählen um nach oben abzuschätzen? Also |5*(-10)*(-12)^2|?

Und darf man eigentlich x hier frei im Intervall wählen oder ist x mit 1 festgelegt, denn es ist ja c∈[x0,x]?

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Irgrendwie erscheint mir das leider unklar.

Schau dir mal dieses Video an:

https://www.youtube.com/watch?v=Rc_diK5l7iY

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Habe ich mir angeschaut, leider wird dort genau mein Problem nicht behandelt.

Ich versuche es mal an der Aufgabe ganz oben zu erklären, also stellen wir uns vor die Polstelle würde [2,5] haben, dort ist es ja definiert.

Wie wählt man x und c, damit es eie Abschätzung nach oben wird?
Wir wissen ja, dass c im Intervall [x0,x] liegen muss, wenn nun aber x im Intervall [2,5] liegen würde und x0 = 4, dann kann c doch nur in [4,5] liegen oder?

Eine andere Frage wäre gilt, für das Restglied |-10|>|5|? Oder muss ich für die obere Abschätzung immer positive Werte im Betrag haben?

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$$ R_n(a,x)  =  \frac{f^{(n+1)}(ξ)}{(n+1)!}·(x-a)^{n+1} \text{ }  mit\text{ }  ξ ∈ [ a,x ] \text{ bzw. ξ ∈ [ x,a ]}$$ f "(x) = 6 / (1-x)⁴  Entwicklungspunkt a = 4

Fehlerabschätzung über dem  Intervall  [2,5] :

 f "(x) ist sowohl in [2,4]  als auch in [4,5]  monoton fallend mit dem maximalen Wert f "(2) = 6

(x-4)²  hat in [2 ,5] den maximalen Wert 4 für x=2

als maximalen Wert von $$ R_2(x)  =  \frac{f^{(2)}(ξ)}{(2)!}·(x-4)^{2} \text{ }  mit\text{ }  ξ ∈ [ 4,5 ] \text{ bzw. ξ ∈ [ 2,4 ]}$$hat man also$$ R_2(x)  =  \frac{f^{(2)}(2)}{(2)!}·4 = 6/4 ·4 = 6 $$

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meinst du mit bzw. ξ ∈ [ 2,4 ] nicht x ∈ [ 2,4 ] ? oder darf man auch je nach dem x0 und x im Intervall vertauschen?

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ich meine  ξ ∈ [ 2,4 ] ,  x ∈ [2 ,5]  wissen wir ja schon

wie sollte man f "(ξ)  abschätzen, wenn man keinen Bereich für ξ  hat?

 vertauschen ja, weil [4,2]  keinen Sinn machen würde.