Aufgabe: Fur \(x \in \mathbb{R}^N\) sei \(|x|_p,\space p \in [1,\infty]\),die p-Norm (s. Wikipedia).
Zeigen Sie ferner für \(N \ge 2\):
i.) \(|x+y|_2 + |x-y|_2 = 2|x|_2 + 2|y|_2\) für alle \(x,y \in \mathbb{R}^N\);
ii.) \(p \in [1, \infty], p \ne 2 \implies \exists\, x,y \in \mathbb{R}^N: |x+y|_{p} + |x-y|_{p} \ne 2|x|_p + 2|y|_p \)
Wie gehe ich hier vor ?