Einsnorm p-Norm und Zusammenhang mit Quadrat

Question

Aufgabe:

Kann mir jemand erklären, was die p-Norm und in meinem Fall die Summennorm also die 1-Norm im 2D Raum mit der Einheitssphäre des Quadrates zu tun hat bzw. mit der Einheitssphäre eines gedrehten Quadrates.

Bei der Euklidischen Norm verstehe ich dass die Kreissphäre den Betrag des Vektors definiert. Aber was hat das gedrehte Quadrat mit der Summe der Vektorkomponenten gemeinsam?

Answer 1

Hallo,

wir betrachten \((x,y) \in \mathbb{R}^2\) und definieren \(\|(x,y)\|_1:=|x|+|y|\). Dann ist

$$Q:=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid \|(x,y)\|_1=1\}$$

in der Tat der Rand eines gedrehten Quadrats:

Für \((x,y)\) im ersten Quadranten, also \(x \geq 0, y \geq 0\) ist

$$\|(x,y)\|_1=1 \iff x+y=1 \iff y=1-x$$

das ist also die Strecke zwischen den Punkt \((0,1)\) und \((1,0)\).

Für \(x \leq 0, y \geq 0\) ist
$$\|(x,y)\|_1=1 \iff -x+y=1 \iff y=1+x$$
das ist also die Strecke zwischen den Punkt \((-1,0)\) und \((0,1)\).

Wenn Du das für die beiden verbleibenden Fälle zuende führst, siehst du das gedrehte Quadrat.

Gruß