Mengen in der Gaußschen Zahlenebene(komplex) M1 M2 M3

Question

Aufgabe:

Skizzieren Sie nachfolgende Mengen in der Gaußsche (d.h. komplexe) Zahlenebene:

$${M}_{1} := \{z \in \mathbb{C}| |\Re(z)| + |\Im(z)| < 1\}$$

$${M}_{2} := \{\overline{z} \in \mathbb{C}  \setminus\{0\} |(|\frac{1}{z}| < 1) \land (-\frac{\pi}{2} \leq \arg(z) \leq 0)\}$$

$${M}_{3} := \{z \in \mathbb{C} \setminus\{0\} |\Re(\frac{1}{z}) \leq 3\}$$

Problem/Ansatz:

Bei der ersten dachte ich an den Satz vom Pythagoras aber bevor ich falsch liege, wollte ich lieber euch Fragen.

Bei der zweiten Menge müsste irgendwas mit einem Kreis sein aber da komme ich auch nicht wirklich drauf.

Bei der dritten dachte ich an einer Geraden die mit der reellen Achse einen 45° Winkel hat an der reellen Achse gespiegelt ist. Auch da bin ich mir nicht sicher.

Daher meine Frage wie kann man sich die Mengen so herleiten dass man als Beispiel für z Werte einsetzt und guckt wie sich das dann verhält. Als Beispiel würde mir das einsetzen für z Helfen, um das auch Grafisch zu verstehen, was da eigentlich passiert.

VG :)

Answer 1

R(z)=x und I(z)=y dann hast du

|x| + |y| < 1

1. Fall x,y beide nicht negativ. Dann x+y<1 also y < -x +1

also im 1. Quadranten alle Punkte unterhalb der Geraden y = -x + 1

~draw~ dreieck(0|0 1|0 0|1);zoom(10) ~draw~

Dann überlege dir den nächsten Quadranten x negativ y nicht

                           -x + y < 1

                                 y < 1+x also alles

                unterhalb von y = 1+x .

Kommt also ein Dreieck dazu .   etc.