Eine 3x3 Matrix durch den Kern A und dem Bild (A) bstimmen?

Question

Aufgabe:

Eine 3x3 Matrix durch den Kern A = span(x y z)  und dem Bild (A) = span ((x y z) , (x y z)) bstimmen

Problem/Ansatz:

In der Aufgabenstellung sind die einzelnen Veltoren mit Zahlen gegeben. Ich will aber die Aufgabe selber lösen aber habe leider keinen richtigen Ansatzt. Ich habe eine 3x3 Matrix mit a11....a33 erstellt und diese mit dem geggeben Kern multipliziert und versucht ein Gleichungssystem aufzustellen, jedoch ohne erfolg .

Ich würde mich über eiene Hlfe freuen. Vielen Dank!!

Answer 1

Soll \(\text{Kern}(A) = \text{span}(\vec{p})\) und \(\text{Bild}(A) = \text{span}(\vec{q}, \vec{r})\) gelten, dann kann man folgendes Gleichungssystem aufstellen:

(1)        \(A\cdot \vec{p} = \vec{0}\)

(2)        \(A\cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} = \vec{q}\)

(3)        \(A\cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} = \vec{r}\)

Allerdings nur dann, wenn \(\left\{\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}, \;\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}, \;\vec{p}\right\}\) eine Basis des Vektorraumes ist. Falls nicht, dann kannst du \(\left\{\vec{p}\right\}\) zu einer Basis ergänzen und diese Vektoren in (1) und (2) verwenden.

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Vielen Dank!

Answer 2

Hallo

 indem du dim(Kern) und dim(Bild) bestimmst hast du schon mal den Rang der Matrix, also wahrscheinlich schon nicht mehr 9 Unbekannte?

Gruß lul

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Vielen Dank!