Rekursive und explizite Formel aufstellen

Question

ich soll eine explizite Formel und eine rekursive Formel aufstellen. Ich habe noch nicht ganz durchgeklickt wie das funktioniert.  Ich habe schon ein paar Folgen Bestimmt aber ich weiß halt nicht wie man zu der rekursiven und der expliziten Folge kommt. Ich soll die Formeln für die Länge einer Dreiecksseite, für die Anzahl der Dreiecksseiten und für den Umfang der Entstandenen Figur bestimmen.

n	Länge eines Dreiecks	Anzahl der Dreiecksseiten	Umfang der     Figur
1	1	3	3 cm
2	0,3333	12	4 cm
3	0,1111111	48	5,3333
4	0,037037037	192	7,1111

Answer 1

Hallo Lina,

die rekursive Formel hast Du bereits implizit hin geschriebe. Nehmen wir die Länge \(l\) einer Dreiecksseite. $$l_1 = 1 \text{cm}$$ und jeder weitere Seite erhältst Du durch die Division durch 3 - bzw. Multiplikation mit \(\frac13\). Also: $$l_2 = l_1 \cdot \frac 13 = \frac 13 \text{cm} \\ l_3 = l_1 \cdot \frac 13 = \frac 19 \text{cm} \\ l_4 = \dots \quad \text {u.s.w.}$$ Oder eben allgemein als rekursive Formel: $$l_i = l_{i-1} \cdot \frac 13$$ Wenn Du nun - z.B. bei \(l_3\) nicht \(\frac 13 \cdot \frac13 = \frac 19\) rechnest, sondern es einfach so stehen lässt, dann sähe das so aus: $$l_1 = 1 \text{cm} \\l_2 = \frac 13 \text{cm} \\ l_3 = \left( \frac 13 \right)^2 \text{cm} \\ l_4 = \left( \frac 13 \right)^3 \text{cm}  \\ l_5 = \left( \frac 13 \right)^4 \text{cm} $$ man sieht, dass im Exponenten stets eine Zahl steht, die um 1 kleiner ist, als der Index von \(l\). Die explizite Formel lautet also $$l_i = \left( \frac 13 \right)^{i-1} \text{cm}$$ Versuche jetzt mal die anderen Spalten alleine - ein Tipp: beim Umfang wird immer mit \(\frac43\) multipliziert.

Comments

Wäre das für li+1 nicht li-1? Weil wir ja den vorherigen betrachten und nicht den darauf folgenden, oder bin ich da falsch:) ?

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Wäre das für \(l_{i+1}\) nicht \(l_{i-1}\)? Weil wir ja den vorherigen betrachten und nicht den darauf folgenden, oder bin ich da falsch:) ?

Ja natürlich, ein Tippfehler meinerseits. Ich korrigiere das.

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Ich kriege die rekursiven hin,  aber die Expliziten einfach nicht :(

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Werner hat sie doch schon hingeschrieben. (?)

Wenn es immer "mal 4" ist, kannst du mit einem Faktor 4^k rechnen.

Zweiten Faktor und k noch genauer angeben.

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... aber die Expliziten einfach nicht :(

von Länge, Anzahl oder Umfang?

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Das mit 4k habe ich versucht, funktioniert aber nicht. Aber dann denke ich nicht ich iwas falsch .....

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Von der Anzahl die explizite

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Von der Anzahl die explizite

Die Anzahlen \(a_i\) sind \(a_1=3, \space a_2=12, \space a_3=48, \space a_4=192\) Die Entwicklung ist $$\begin{aligned} a_1&=  3 \\ a_2 &= a_1 \cdot 4 = 12 \\ a_3 &= a_2 \cdot 4 = a_1 \cdot 4^2 = 48 \\ a_4 &= a_3 \cdot 4 = a_1 \cdot 4^3 = 192 \\ a_5 &= a_4 \cdot 4 = a_1 \cdot 4^4 = 768 \end{aligned}$$ wie Du siehst muss in diesem Fall die \(a_1\) 'mitgeschleppt' werden. Die implizite Formel für die Anzahl \(a_i\) ist also $$a_i = a_1 \cdot 4^{i-1} = 3 \cdot 4^{i-1}$$ bei den Längen war das erste Element \(=1 \text{cm}\), da fiel das nicht auf.