Abbildungen auf Linearität untersuchen

Question

ich verstehe gerade in linearer Algebra wieder nicht wie ich die Sache angehen soll....Die Aufgabe ist folgende:

Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Linearität:

(a) f₁: ℝ³ → R², (x₁,x₂,x₃)^T ↦ (x₁x₂,x₃)^T  (wobei K = ℝ),

(b) f₂: ℂ→ ℂ , z ↦ z(mit VZW)  (wobei K = ℝ)

(c) f₃: ℝ → ℝ , x ↦ ax + b  (wobei K = ℝ)

Kann mir jemand anhand der Beispiele zeigen, wie ich die Aufgabe bearbeiten kann?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Wie kann eine Abbildung die aus komplexen Zahlen linear sein?

Stichworte: linear,abbildung,vektoren,komplexe-zahlen

Ich soll folgende Abbildung auf Linearität untersuchen...ich weiß wie man eine Abbildung etc. Auf linearität untersucht,  aber bei den komplexen Zahlen bin ich ratlos....

ℂ→ ℂ , z ↦ z(mit VZW)  (wobei K = ℝ)

Liebe Grüße

Annika

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z(mit VZW)

meinsr du  z = x + y * i    ->   - x - y * i

oder           z = x + y * i    ->   x - y * i    (konjugiert komplexe Zahl)  ?

Answer 1

Hallo für linear musst du doch nur zeigen:

f(a*x)=a*f(x) und f(x+y)=f(x)+f(y) (x und y die entsprechenden Vektoren )

bei f2 versteh ich die Definition z 7→ z(mit VZW) was sagt die 7, heisst das einfach f(z)=-z?

auch bei f3 wieder die 7 ist f3(x)=ax+b

 dann ist zb. f(r*x)=a*rx+b ≠r*f(x)=arx+br also nicht linear.

 auch f1 ist nicht linear schreib einfach mal f(r*x) hin oder f(x)+f(y), dagegen ist f2 linear, wenn meine Annahme für f2 richtig ist.

Gruß lul

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Ach das ist ein Fehler vom Reinkopieren...Kann man Ignorieren :)

Dankeschön! :)

Answer 2

(b)

Hallo

 du hast noch immer nicht gesagt was z->z(mit VZW) bedeutet, und die Frage schon mal gestellt, warum nicht dort zurückfragen,  der Körper ist ja K nicht C also genau wie alle anderen Abbildungen f(r*z)=?r*f(z)  r reell, und f(z)+f(w)=?f(z+w)

Gruß lul

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Ja das heißt ja einfach, das z auf z abbildet, nur das bei z mit VZW die Vorzeichen vertauscht werden.

Aber ich habe bei dem C doch keine Werte, ich weiß nicht wie ich da an der Stelle die Linearität beweisen soll.

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Bitte Link zum Original angeben. Das braucht nicht offen zu bleiben.

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ich weiss noch immer nicht ob nun z auf -z abgebildet wird? oder welches Vorzeichen wird gewechselt.

die Elemente von C sind doch einfach komplexe Zahlen die du z oder w oder zi nennen kannst , dass (-r*z)=r*(-z) ist weisst du hoffentlich sonst Schreib eben z=x+iy , r*z=r*x+ir*y aber das ist unnötig. Gruß lul

der link zum Original:

https://www.mathelounge.de/594215/abbildungen-auf-linearitat-untersuchen

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Ja wenn ich das wüsste, hätte ich das ja hingeschrieben...Mehr kann ich dazu auch nicht sagen.

Und ja dein "Hoffentlich" wird bestätigt, das weiß ich

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Steht (b) genau so auf deinem Übungsblatt?

Wann ja, musst du in euren Unterlagen VZW suchen oder deinen Prof mit einer Mail belästigen.