Aufgabe Funktionenscharen

Question

Aufgabe:

A) Untersuche die Anzahl der Wendestellen der Funktion fk in Abhängigkeit von k mit

fk(x)=\( \frac{1}{3} \)*x^4 + (k-2) * x^2

B) (1) Untersuche die Anzahl der Nullstellen der Funktion fk in Abhängigkeit von k mit

fk(x)=k*x^3 -3x^2 +9x

(2) Bestimme den Wert k so, dass der Graph von f einen Wendepunkt an der Stelle x=3 hat.

Answer 1

$$f_k(x)= \frac{1}{3} *x^4 + (k-2) * x^2$$

$$f_k'(x)= \frac{4}{3} *x^3 + 2 (k-2) * x$$

$$f_k{''}(x)= 4*x^2 + 2 (k-2) $$

Also f ' ' (x) = 0 <=>  4 *x^2 + 2 (k-2) = 0

                 <=>  4x^2 = 2k-4

                     <=>  x^2 = k/2-1

Hat für k>2 jedenfalls 2 Lösungen und das sind auch beides Wendestellen

Prüfe mit f ' ' '..

Für k<2 keine. Und für k=2 ist es ja nur

$$f_2(x)= \frac{1}{3} *x^4$$

hat also keine Wendestelle. Bei x=0 ist da ein Minimum.

Answer 2

2)
\(f^{(2)}(3)=0 \rightarrow 4\cdot 3^2+2\left(k-2\right)=0 \rightarrow k+16= \rightarrow k=-16\)