Man könnte es auch so darstellen (was die Sache aber auch nicht einfacher macht, denn lästige Rechnungen habe ich weggelassen :-)):
Die Füllstandsmenge (Stammfunktion F von z mit z(0) = 0) ist:
\(F(t) = \begin{cases} t^5/5 - 3·t^4 + 12·t^3& 0≤ t ≤ 4 \\ t^5/5 - 3·t^4 + 12·t^3-5·(t-4)& 4 \lt t ≤ 6 \end{cases} \)
F ist in t=4 stetig, aber nicht differenzierber.
Die Funktionsvorschrift der Ableitung in [0,6] \ {4} ist
\(F'(t) = \begin{cases} t^4 - 12·t^3 + 36·t^2 & 0 ≤ t< 4 \\ t^4 - 12·t^3 + 36·t^2 - 5 & 4<t≤6 \end{cases} \)
mit den Nullstellen
t1 = 0 ; t2 = √(√(5 +9) + 3 ≈ 5,601
t2 kann man auch näherungsweise (z.B. Newtonverfahren # ) berechnen, denn die Berechnung des genauen Wertes ist ohne Rechner nicht unlästig :-)
F"(t) = 4·t^3 - 36·t^2 + 72·t
→ F"(t2) ≈ - 23 < 0 → Maximum bei t = 5,601 [h] mit 250,5 Litern
[ An den Randstellen t=4 (204,8 l) und t=6 (249,2 l) sind es weniger]
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# Newtonverfahren für F '(x) = x^4 - 12·x^3 + 36·x^2 - 5 = 0
$$x_{neu} = x_{alt} - \frac{f(x_{alt}}{ f ' (x_{alt})}$$mit dem naheliegenden Startwert 5 aus ] 4,6 ] hat man x ≈ 5,6 schon nach 2 Schritten!