(a) Zeigen Sie durch Angabe eines Gegenbeispiels, dass folgende Aus- sage falsch ist:
Wenn M1 ∩ M2 = ∅, dann ist M1 ∪ M2 linear unabhängig.
Sei V = R^2 und M1= { ( 1,0) } und M1= { ( 2,0) }
Beide sind lin.unabh. denn ein einzelnen Vektor, der nicht der 0-Vektor ist,
ist immer linear unabhängig. Aber ( 2,0) = 2* ( 1,0) ,
also sind beide zusammen nicht lin. unabh.
(b) Beweisen Sie die folgende Aussage:
Die Menge M1 ∪ M2 ist genau dann linear unabhängig, wenn Lin(M1) ∩ Lin(M2) = {⃗0}.
Sei M1 ∪ M2 linear unabhängig, dann ist kein von 0 verschiedenes Element von M1 ∪ M2
durch eine Linearkombination der übrigen darstellbar . Also insbesondere kein von
0 verschiedenes Element von M1 durch eine Linearkombination von Elementen
aus M2 [ und entsprechend umgekehrt ] darstellbar. Die Linearkombinationen von
M1 sind aber gerade Lin(M1) und die von M2 sind Lin(M2). Also enthält
Lin(M1) ∩ Lin(M2) kein von 0 verschiedenes Element. Andererseits ist 0
in jeder linearen Hülle, also Lin(M1) ∩ Lin(M2) = {⃗0}.
Ist umgekehrt Lin(M1) ∩ Lin(M2) = {⃗0}. Wäre M1 ∪ M2 linear abhängig,
dann gäbe es ein von 0 verschiedenes Element v aus M1 ∪ M2, das als
Linearkombination von Elementen aus M1 und M2 darstellbar wäre, also
in der Form
$$v = \sum \limits_{i=1}^{k} a_i*u_i + \sum \limits_{j=1}^{n} b_j*v_j$$
mit - falls es ein K-Vektorraum ist -
$$ a_i, b_j ∈K \text{ und } u_i∈M1 \text{ und } v_j∈M2 $$
Die erste Summe ist ein Element aus Lin(M1) und die zweite
eines aus Lin(M2) . Und v ist aus M1 oder aus M2.
1. Fall: v∈M1, also v∈Lin(M1) , dann ist auch
$$v - \sum \limits_{i=1}^{k} a_i*u_i $$
ein Element von Lin(M1) , also wegen
$$v -\sum \limits_{i=1}^{k} a_i*u_i = \sum \limits_{j=1}^{n} b_j*v_j$$
ist auch $$ \sum \limits_{j=1}^{n} b_j*v_j ∈Lin(M1) $$
und damit $$ \sum \limits_{j=1}^{n} b_j*v_j = 0 $$
Dann wäre aber
$$v = \sum \limits_{i=1}^{k} a_i*u_i + \sum \limits_{j=1}^{n} b_j*v_j$$
$$v= \sum \limits_{i=1}^{k} a_i*u_i $$
also v eine Linearkombination der Elemente von M1 im
Widerspruch zur lin. Unabhängigkeit von M1.
2. Fall entsprechend.
