Wie beweist man folgende Aussagen zu Kern α und Bild α?

Question

ich weiß leider überhaupt nicht, wie ich bei der Aufgabe vorgehen soll:

Es sei V ein K-Vektorraum und α ∈ End_K(V ). Wir schreiben α² anstelle α ◦ α.

(a) Zeigen Sie: Stets ist Kern α ⊆ Kern α² und Bild α² ⊆ Bild α .

(b) Geben Sie einen Endomorphismus α des K² an, bei dem Kern α ⊆ (wobei der Strich unten durchgestrichen ist) Kern α² und Bild α² ⊆ (wobei der Strich unten durchgestrichen ist) Bild α ist. (Begründung!)

(c) Zeigen Sie: Kern α² = Kern α ⇔ Bild α ∩ Kern α = {0}.

(d) Zeigen Sie: Bild α² = Bild α ⇔ Bild α + Kern α = V .

Hat jemand eine Idee oder einen Vorschlag?

Answer 1

Hier mal die a) und c)

(a) \( \ker f \subseteq \ker f^2 \)

Sei \( x \in \ker f \), dann gilt \( f(x) = 0 \operatorname{im}plies f^2(x)=  f(f(x)) = f(0) = 0 \operatorname{im}plies x \in \ker f^2 \)

\( \operatorname{im} f^2 \subseteq \operatorname{im} f \)

Sei \( y \in \operatorname{im} f^2 \), dann existiert ein \( v \in V \) mit \( f^2(v) = y \), also \( f(f(v)) = y \). Somit ist \( f(v) \in V \) ein Urbild von \( y \) und damit \( y \in \operatorname{im} f \)

(c) \( \ker f = \ker f^2 \Leftrightarrow \operatorname{im} f \cap \ker f = \lbrace 0 \rbrace \)

=> Sei \( \ker f = \ker f^2 \) und \( v \in \operatorname{im} f \cap \ker f \). Da \( v \in \operatorname{im} f \) existiert ein \( \tilde v \in V \) mit \( f(\tilde v) = v \) und da \( v \in \ker f \) gilt \( f(v) = 0 \). Insgesamt \( f(f(\tilde v))=f(v) = 0\), also \( \tilde v \in \ker f^2 = \ker f \) nach Voraussetzung. Und somit \( v = f(\tilde v) = 0 \)

<= Sei \( \operatorname{im} f \cap \ker f = \lbrace 0 \rbrace \).Wir haben in a schon eine Inklusion gezeigt, gzz \( \ker f \supseteq \ker f^2 \). Also sei \( v \in \ker f^2 \), d.h. \( f(f(v)) = 0\), insb. \( f(v) \in \ker f \) und da \( f(v) \in \operatorname{im} f \) folgt direkt \( f(v) \in \operatorname{im} f \cap \ker f = \lbrace 0 \rbrace \). Das heißt wir haben \( f(v) = 0 \) und dadurch auch \( v \in \ker f \)

(d) \( \operatorname{im} f^2 = \operatorname{im} f \Leftrightarrow \operatorname{im} f + \ker f = V \)

=> Sei \( \operatorname{im} f^2 = \operatorname{im} f \). Die Inklusion \( \operatorname{im} f + \ker f \subseteq V \) ist klar, bliebt nur die andere zu zeigen. Sei \( v \in V \), \( w := f(v) \), dann ist \( w \in \operatorname{im} f = \operatorname{im} f^2 \). Es existiert ein \( \tilde v \in V \) mit \( f^2(\tilde v ) = w \). Wir setzen das geich:

$$ f(v) = f^2(\tilde v ) \operatorname{im}plies f(v) - f^2(\tilde v) = 0 \operatorname{im}plies f(v - f(\tilde v)) = 0  $$

Damit \( v - f(\tilde v) \in \ker f \), außerdem \( f(\tilde v) \in \operatorname{im} f \). Wir erhalten also \( v = f(\tilde v)  + (v - f(\tilde v)) \in \operatorname{im} f + \ker f \).

<= Sei \( \operatorname{im} f + \ker f = V \) gzz \( \operatorname{im} f \subseteq \operatorname{im} f^2 \). Die andere Inklusion wurde in a) gezeigt. Also nehmen wir ein \( w \in \operatorname{im} f \), dann ex \( v \in V \) mit \(f(v) = w \). Nach Voraussetzung existieren \( a \in \operatorname{im} f, b \in \ker f \) mit \( v = a + b \), damit \( w= f(v) = f(a+b) = f(a) + f(b) = f(a) + 0 = f(a) \). Da \( a \in \operatorname{im} f \) existiert ein \( c \in V \) mit \( f(c) = a \). D.h. \( w = f(f(c)) \in \operatorname{im} f^2 \).

Jetzt musst du dir nur noch ein Beispiel für b) überlegen...

Comments

Bitte die \implies wieder reparieren.

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In der d) Wie komm ich auf die Gleichung?

\( v = f(\tilde v)  + (v - f(\tilde v))\)

Lg mexiz

Answer 2

a) Wenn \(x\in\ker(\alpha²) \), dann gilt: \(\alpha(x) = 0 \implies \alpha^2(x) = \alpha(\alpha(x)) = \alpha(0) = 0 \), also \(x\in\ker(a^2) \).

Überleg dir mal, wie du es analog mit dem Bild machen willst. Wenn ein \(x\in \operatorname{im}(\alpha^2)\) liegt, also es gibt ein y mit \( \alpha(\alpha(y)) = x\), was wählst du als y' sodass \(\alpha(y') = x \)?

b) Du willst also den Kern einer Abbildung größer machen, wenn du die Abbildung häufiger hintereinander ausführst. Überleg dir mal dazu, dass du also einen nichttrivialen Kern brauchst und dass deine Abbildung in den Kern reingehen sollte.

z.B. \(f:\mathbb{K}^2\to \mathbb{K}^2\) mit \((x,y)\mapsto (y,0)\). Wieso erfüllt diese Abbildung die Eigenschaften?

c) Hinrichtung: Gelte \(\ker(\alpha^2) = \ker(\alpha) \). Sei jetzt \(x\in \operatorname{im} (\alpha)\cap\ker(\alpha) \). Es gilt also \(\alpha(x) = 0 \) und es gibt ein y mit \(\alpha(y) = x \). Dann gilt aber \(\alpha^2(y) = 0\implies \alpha(y) = 0 \implies x = 0 \), weil die Kerne von a² und a übereinstimmen.

Rückrichtung und d) ist dir überlassen, aber es ist genau das gleiche Prinzip.

LG