Abbildungsmatrix bestimmen

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die drei linearen Abbildungen


ϕ1 : R^ 2 → R[x] , ((a),(b)) → ax^3 − bx,

ϕ2 : R[x]→ R[x] , f → (x - 1) f,

ϕ3 : R[x]→ R^3, g → ((g(-1), g'(1), g(2)).

Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix M(ϕ3 ◦ ϕ2 ◦ ϕ1) der Komposition
ϕ3 ◦ ϕ2 ◦ ϕ1 : R2 → R3 .

Problem/Ansatz:

das Problem ist, dass ich keinen Ansatz habe. Also ein Tipp, der mir hilft ein Ansatz zu finden wäre nett.

Vielen Dank!

Answer 1

Berechne einfach die Bilder von (1,0) und (0,1).

(ϕ3 ◦ ϕ2 ◦ ϕ1) (1,0)

= (ϕ3 ◦ ϕ2 )( ϕ1(1,0))

= (ϕ3 ◦ ϕ2 )( 1*x^3 )

= ϕ3 (ϕ2 ( 1*x^3 ))

 = ϕ3 ((x-1)*  x^3 )

= ϕ3 ( x^4 - x^3  )

= ( (-1)^4 - (-1)^3 ,  4*1^3 - 3*1^2 , 16-8 )

=  ( 2  ,   1   ,   8 )

Also ist die erste Spalte der Matrix

2
1
8

mit (ϕ3 ◦ ϕ2 ◦ ϕ1) (0,1)  erhältst du die 2. Spalte

und bist fertig !

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Vielen Dank!