Logarithmus und Potenz: Zeige, dass für jedes a > 0 gilt...

Question

ich bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabe. Danke

Aufgabe:

(Der Logarithmus wächst langsamer als jede Potenz) Zeige, dass für
jedes a > 0 gilt

$$ \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { \log ( x ) } { x ^ { a } } = 0 \quad \text { und } \quad \lim _ { x \rightarrow \ 0 } \log ( x ) x ^ { a } = 0 $$

(der pfeil bei $${ x \rightarrow \ 0 }$$ ist eigentlich schräg nach unten)

Answer 1

Die erste geht mit L'Hospital.

Siehe dazu : https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_de_l'Hospital

$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\log(x)}{x^{a}}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}}{a*x^{a-1}}=\frac{1}{a}\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x^{a}}=0$$

Die zweite müsse dann genauso gehen, wenn du $$\lim\limits_{x\to 0}log(x)x^{a}$$ umstellst zu $$\lim\limits_{x\to 0}\frac{log(x)}{x^{-a}}$$

Comments

Vielen Dank, allerdings verstehe ich die Umstellung beim zweiten irgendwie nicht so ganz. Wie wird das denn umgestellt ?

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Es wird ein Potenzgesetz verwendet: \(x^{a}\) = \( \frac{1}{x^{-a}} \)

Mehr dazu: https://www.formelsammlung-mathe.de/potenzen.html

Danach folgt der Beweis analog zum ersten Teil:

\(\lim\limits_{x\to0}log(x)x^a = \lim\limits_{x\to0}\frac{log(x)}{x^{-a}} = \lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{1}{x}}{-a x^{-2a}} = -\frac{1}{a} \lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x^{-2a + 1}} \)

\(= -\frac{1}{a} \lim\limits_{x\to0}{x^{2a - 1}} = 0\)

1. Gleichheit: Potenzgesetz mit negativem Exponent.

2. Gleichheit: Regel von L'Hôpital.

3. Gleichheit: Potenzgesetz mit negativem Exponent; Ausklammern von konstanten Faktoren.

4. Gleichheit: Potenzgesetz mit negativem Exponent.

5. Gleichheit: Auswertung des Limes.