Aufgabe:
$$\text{ Beweisen Sie, dass folgende Reihen (A,B) konvergent sind,das Cauchy Produkt aber divergent ist} \\ A=\sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{\sqrt[]{k+1}} \\ B=\sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{\sqrt[3]{k+1}} $$
Problem/Ansatz:
Meine Idee wäre erstmal anhand des Leibnizkriteriums die Konvergenz der Reihen A,B zeigen. (Wichtig dabei ist, dass das Leibnizkriterium nur über die Konvergenz Informationen geben kann, aber nicht über die Absolute Konvergenz)
Danach würde ich die Cauchy Produktformel unter Annahme benutzen, dass beide Reihen absolut konvergieren.
Dann zeige ich, dass das Cauchy Produkt divergiert, was dazu führt dass quasi meine Annahme ''A & B konvergieren absolut'' falsch sei. Damit denke wäre die Aufgabenstellung erfüllt.
Ich brauche folgende Hilfe:
1) Könnte mir jemand anhand einer der Reihen das Leibnitzkriterium anwenden? Ich bin leider noch nicht ganz mit diesem Kriterium geübt, sodass ich die Erkenntnis auf die andere Reihe übertragen kann.
2) Kann jemand mir helfen bei der Cauchy Produktformel mein Beweis auszuführen? Ich bin da leider hängengeblieben:
$$\\ C=\sum \limits_{k=0}^{n} A_k*B_{n-k} \\\sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{\sqrt[]{k+1}} *\frac{(-1)^n-k}{\sqrt[3]{n-k+1}} \\=(-1)^n*\sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[]{k+1}*\sqrt[3]{n-k+1}} $$
P.S
Mir ist bekannt, dass schon eine ähnliche Frage hier im Forum existiert:
https://www.mathelounge.de/29793/zeigen-folgenden-reihen-konvergieren-cauchy-produkt-jedoch
Ich habe mir diese Frage schon angesehen, jedoch könnte sie mir nicht weiter helfen weil:
1) Meine Voraussetzungen sind anders
2) Ich habe schon die grobe Idee wie ich vorgehen soll, im Gegensatz zum der Frage, die schon gestellt wurde. Mir fehlen jedoch die ''Tools'' ( Anwendung des Leibnitzkriteriums , sowie die Durchführung der Cauchy-Produkt Formel da ich da ab einem gewissen Punkt nicht weiter komme)
