Konstruktion von gebrochen-rationalen Funktionen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie eine gebrochen-rationale Funktion y=f(x) mit den
folgenden Eigenschaften 1), 2) und 3):

1) Die Funktion hat eine einfache Nullstellen bei x1=-1 und eine doppelte Nullstelle bei x2=2

2) Die Funktion hat eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei x3=-3
und eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei  x4=1

3) f(0) = 4

Problem/Ansatz:

1)

2) (x+3)*(x-1) ?

3)

weiß leider gar nicht wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen soll...

danke im voraus.

Answer 1

Hi,

bei 2) hast Du leider nicht berücksichtigt, dass für  x = 1 kein Vorzeichenwechsel vorliegen soll. Sonst aber sieht das gar nicht schlecht aus! :) Warum nicht auch für 1) so?

1) (x+1)(x-2)^2

2) (x+3)(x-1)^2 (nur durch das Quadrat haben wir keinen VZW mehr. (x-1)^4 etc wäre aber auch möglich)

3) Hier würde ich obiges erstmal zusammenfassen und dann einen Vorfakor bestimmen:

$$f(x) = \frac{a(x+1)(x-2)^2}{(x+3)(x-1)^2}$$

$$f(0) = \frac{a(1)(-2)^2}{(3)(-1)^2} = 4$$

$$\frac{4a}{3} = 4 \quad|\cdot \frac34$$

$$a = 3$$

$$\to \frac{3(x+1)(x-2)^2}{(x+3)(x-1)^2}$$

Alles klar?

Grüße

Comments

ja jetzt sieht man auch den zusammenhang :)

vielen dank!

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Hi,

hätte da noch eine weitere frage...

wenn ich folgende Aufgabenstellung habe:

Bestimmen Sie eine gebrochen-rationale Funktion y=f(x) mit den
folgenden Eigenschaften

1) Die Funktion hat einfache Polstellen bei x1=-2 und x2=2
2) Für x gegen unendlich strebt die Funktion gegen 10.
3) f(0)=3 und f(4)=-1

1. (x+2)*(x-2)

2. lim f(x)?

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Ich bin übersWochenende unterwegs. Stell das bitte als neue Frage :). Ist ohnehin besser für neue Probleme neue Fragen zu stellen.

Ab morgen bin ichwieder da, falls noch was offen ist ;).