Wie beweise ich Eigenschaften einer Äquivalenzrelationen?

Question

Aufgabe:

Im Folgenden wird eine Relation auf der Menge M aller Menschen und auf der Menge ℤ aller ganzen Zahlen definiert. Welche sind Äquivalenzrelationen. Beweisen Sie relevante Eigenschaften.

A) ∀a,b∈M : a~b⇔a und b sind per Du.

B)∀x,y∈ℤ : x~y⇔x-y ist gerade.

Answer 1

a)

Die Rerlation ist ist nicht transitiv: Wenn a mit b  und b mit c  "per Du" sind, muss das nicht auch für a und c gelten.

         →  keine Äquivalenzrelation

b)

                a - b gerade  ⇔   (a gerade und b gerade) oder (a ungerade und b ungerade)

reflexiv:      x - x = 0 ist gerade

symmetrisch:  x - y gerade  →   y - x  gerade

transitiv:   x - y gerade  und  y - z gerade

                  →  x,y und z sind alle gerade oder alle ungerade

                  →  x - z  gerade

also liegt eine Äquivalenzrelation vor

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen Dank :)

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immer wieder gern :-)

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Haben Sie vielleicht auch eine Antwort auf meine anderen Fragen ? Das wäre echt super hilfreich:)