Basiswechsel und beschreibende Matrizen 2

Question

Es sei E die Standardbasis für R³. Weiter seien φ,ψ: R³ → R³ mit

_Eφ_E = \( \begin{pmatrix} -2 \ +1\ +2\\ +1\ +4\ -1\\ +0\ +1\ +1 \end{pmatrix} \) und _Eφ_E = \( \begin{pmatrix} -2\ +1\ +2\\  +1\ +4\ -1 \\+0 \ +1\ +0 \end{pmatrix} \) .

(a) Finden Sie eine Basis B so, dass _Eφ_E = \( \begin{pmatrix} +1 \ +0\ +0 \\ +0\ +0\ +0 \\+0 \ +0\ +3 \end{pmatrix} \).

(b) Warum wäre Teilaufgabe (a) nicht lösbar, wenn wir φ durch ψ ersetzen würden?

muss bis morgen fertig werden, ich bleibe dran^^!

bei der b denke ich geht irgwie die identität verloren?

aber kp wie zeigen soll. da ich die a nicht kann.

Comments

der vektor in a in der zweiten 2.zeile muss in der mitte eine 2 haben.

kein 0.

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\( \begin{pmatrix} 1\ +0\ +0\\ 0\ +2\ +0 \\ +0\ +0 \ +3 \end{pmatrix} \) so sollte es aussehen.

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Ist die (a)

1  0  0  x      x  0 0

0  2  0  y  =  0 2y  0

0  0  3  z      0  0  3z

     1              0            0           0

x( 0 )   + y( 2 )   + z( 0 )    =   0

    0              0             3            0

Also ist es nicht eindeutig?

Da keins vielfaches ist???

So korrekt?

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Oder ist die Basis

B= { \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0\end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 0\\2\\0 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 0\\0\\3 \end{pmatrix} \) }

??

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Ich hab jetzt gelernt

Der standardbasis

Ist.

\( \begin{pmatrix} x\\0\\0 \end{pmatrix} \) ,

\( \begin{pmatrix} 0\\y\\0 \end{pmatrix} \) ,

\( \begin{pmatrix} 0\\0\\z \end{pmatrix} \)

Man könnte die buchstaben auch rausziehen ichweiss.

Ich weiss aber den zisammenhang leider aber nicht.

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(a) Finden Sie eine Basis B so, dass _{E}φ_{E} =

Hast du das richtig abgeschrieben?

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So sieht das aus.

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Darf ich wieder löschen?

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Ich stelle es nochmal rein :)

So sieht das aus.

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Es muss also heißen:

(a) Finden Sie eine Basis B so, dass _{B}φ_{E} =

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mein letzter versuch war noch das hier.

kann mir wer bitte noch die lösung sagen hätte kein zeit mehr^^

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@immai: Bitte Mathpix installieren und so etwas nach Latex übertragen. Danke.

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Answer 1

Hallo immai,

Du schriebst:

mein letzter versuch war noch das hier.

... die Eigenwerte einer Diagonalmatrix sind die Elemente auf der Diagonalen und die Eigenvektoren sind Vektoren der Standardbasis. Keine Ahnung, was Du da ausrechnen wolltest. Ich vemute, Du hast gar nicht verstanden um was es geht !?

ich hadere ein wenig mit dieser Schreibweise: \(_B\varphi_{E}\) ? \(B\) und \(E\) scheinen tatsächlich tiefer gestellt zu sein. Also auf die Gefahr hin, dass ich Dir Mist erzähle, gehe ich davon aus, dass schlicht $$_B\varphi_{E} = B \cdot {_E\varphi_{E}}$$ ist. Dann stellt man die Gleichung einfach um und erhält: $$B = {_B\varphi_{E}} \cdot ({_E\varphi_{E}})^{-1} \\ \quad = \begin{pmatrix}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{pmatrix} \cdot \frac 19 \begin{pmatrix}-5& -1& 9\\ 1& 2& 0\\ -1& -2& 9\end{pmatrix} \\ \quad = \frac 19 \begin{pmatrix}-5& -1& 9\\ 2& 4& 0\\ -3& -6& 27\end{pmatrix}$$

Wenn Du das gleiche mit der Matrix \(_E\psi_E\) versuchst, dann wirst Du feststellen, dass sich $$({_E\psi_E})^{-1} = ?$$ nicht berechnen lässt. Die Determinante dieser Matrix ist nämlich =0. Geht also nicht.

Kannst Du uns bitte aufklären, was diese Schreibweise $${_X\varphi_{Y}}$$ bedeutet ??

Comments

Vielen Dank erstmal.

Kannst du noch die b erklären bitte?

Ich verstehe nicht wo die x herkommt^^

Die aufgabe habe ich doch abfotografiert und hochgestellt.

Ich brauche glaube nur nur noch bei der anderen basis aufgabe hilfe .

Vielen dank

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Da bin ich aber froh, dass es nicht nur mir so geht ;-)...

Wenn man B in eine Matrix schreibt, so stellt das eine Basiswechselmatrix von B nach E dar: eTb, was doch heißen würde bei

BφE=eTb EφE

treffen die flaschen Basen aufeinander? Sollte

BφE = EφE eTb

gemeint sein?

Sollte man EφE interpretiere als E rein und E raus, eine Abbildung ohne Basiswechsel.  Dann würde ich BφE als eine Abbildung mit Basiswechselmatrix interprtieren: da wäre

BφE = eTb^-1  EφE

gemeint?

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Also ist es von der uni aus komisch gestellt?

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Kannst du noch die b erklären bitte?

\(\det({_E\psi_E}) = 0\) d.h. diese Matrix ist nicht invertierbar. Ich habe die Antwort erweitert.

Ich verstehe nicht wo die x herkommt

was meinst Du mit \(x\)?

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bei

BφE=eTb EφE

treffen die falschen Basen aufeinander?

Genau! Aber solange uns immai nicht über diese Schreibweise aufklärt, kann entweder die eine oder die andere Variante richtg sein.

Das müsste doch irgendwie in seinem Script stehen, Es ist eine reine Sache der Definition.

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Also ist es von der uni aus komisch gestellt?

Nein nicht komisch - nur nicht definiert!

Die Frage ist eine reine Frage nach der Definition. Und das kann im Prinzip jeder machen wie er lustig ist und muss irgendwo in Deinem Script stehen. Ist $${_B\varphi_E} = B \cdot {_E\varphi_E}$$ oder $${_B\varphi_E} = {_E\varphi_E} \cdot B $$??? Beides wäre denkbar und ist nicht falsch, man sich dann aber durchgängig, also auch bei der Lösung der Aufgaben dran halten.

Im zweiten Fall wäre \(B\) nämlich $$B_2 = \frac 19 \begin{pmatrix}-5& -2& 27\\ 1& 4& 0\\ -1& -4& 27\end{pmatrix}$$

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Ich kann irgwie leider nix dazu finden :(((

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Ich kann irgendwie leider nix dazu finden :

ganz schlecht. D.h. Du weißt im Detail gar nicht, was die Aufgaben im Detail aussagen. Kannst Du niemanden fragen? Hast Du irgendwo eine Unterlage, die eine Beispielrechnung beinhaltet? Mitschrift oder Einführungsbeispiel - irgendwas muss es doch geben ...