Faktorisieren Sie f = x^4 -3 ∈ K[x]

Question

Aufgabe:

Faktorisieren Sie f = x⁴ - 3 ∈ K[x] (d.h. schreiben Sie f als Produkt von irreduziblen Polynomen in K[x]), wenn

1. K = ℚ

2. K = ℝ

3. K = ℤ₁₃

Answer 1

1. Keine Faktorisierung möglich

2.

f = x^{4} - 3       | 3. binomische Formel

= (x^2 - √(3))(x^2+√(3)   | 3. binomische Formel

= (x - ⁴√(3))(x+^4√(3))(x^2 + √(3))

3. hat die Nullstellen x1 = 2, x2 = 3, x3 = 10, x4 = 11

Kannst du automatisch haben von https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E%7B4%7D+-+3+modulo+13

D.h. (alles modulo 13)

x^4 - 3 = (x-2)(x-3)(x-10)(x-11)

= (x-2)(x-3)(x+3)(x+2)

(ohne Gewähr)

Diese Nullstellen findest du recht schnell, wenn du die Zahlen 0 bis 12 einsetzt.

Comments

danke! Kannst du mir noch erklären, warum bei 1. keine Faktorisieung möglich ist?

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x^{4} - 3 hat keine rationalen Nullstellen.