Differentialgleichung y^2*y' + x^2 = 1 mit Anfangsbedingung y(2)=1

Question

Aufgabe:

y^2*y' + x^2 = 1   y(2)=1

Problem/Ansatz:

Auf Wolfram Alpha lautet das Ergebnis

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%5E2*y%27+%2B+x%5E2+%3D+1

Ich selbst habe als Lösung statt 1*c1 (Wolfram Alpha) 3*c1 raus.

Auf dem Weg zur Lösung kommt man ja nach dem Integrieren von y^2 dy = 1-x^2 dx

auf die Lösung 1/3y^3 = x-1/3x^3+C

mal 3 genommen dann auf

y^3 = 3x - x^3 +3C

y = Dritte Wurzel aus (3x-x^3+3C)

Wolfram Alpha nimmt aber statt 3C einfach nur c1. Wieso? Es ist ja für die Anfangsbedingung wichtig, ob es 3C oder 1C ist. Welche Lösung ist jetzt richtig? Bei den beiden Lösungen kommt ja für die gegebene Anfangsbedingung jeweils ein anderer Wert raus.

Ich bekomme C=1 raus, wenn ich aber die Lösung von Wolfram Alpha nehmen würde, würde ich 3 rausbekommen.

Answer 1

Hallo

ob du C oder 123C oder 3C nimmst ist egal, da du ja durch die Anfangsbedingung dein C bestimmst nicht richtig ist, dass du für dein C 1 bekommst und für Wolframs c1 auch 1

da 3C ein Konstante ist kannst du auch 3C=c1 schreiben.

denn das Ergebnis muss ja sein y^3=3x-x^3+3

 also ist Wolframs c dann 3.

Konstanten sind Konstanten, egal wie man sie nennt. ob C, oder A oder 17A oder...

Gruß lul

Comments

Also kommt es nur drauf an, wie man es selbst definiert? Beide Lösungen wären richtig?

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Hallo ja, solange du dann C richtig aus den Anfangsbed. errechnest. denn es zählt ja nur die Lösung  y3=3x-x3+3

Gruß lul

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Alles klar, danke dir.

Answer 2

"Ich selbst habe als Lösung statt 1*c1 (Wolfram Alpha) 3*c1 raus."

Nur weil du eine Konstante c1 nennst und wolframalpha eine Konstante c1 nennt heißt das noch lange nicht, dass ihr von der selben Konstante sprecht.Ich definiere jetzt einfach mal als Konstante "c₈" das Dreifache von dem, was DU  als c₁ bezeichnet hast. Damit ist deine Konstante 3*c₁ jetzt nur noch c₈ und damit das Gleiche wie bei wolframalpha, nur mit anderem Namen.

Comments

Ja aber was soll ich jetzt für die Lösung mit Anfangsbedingung nehmen?

Heißt das dann, dass beide Lösungen richtig sind und es nur darauf ankommt, was ich vorher definiere? Ich kann zum Beispiel sagen, dass 3C = c1 ist. Dann kommt für c1 3 raus. Oder ich belasse es einfach bei 3C und für C kommt dann 1 raus?