Kern und Bild der darstellenden Matrix bestimmen.

Question

Aufgabe:

$$Gegeneben\quad sei\quad der\quad Vektorraum\\ K\quad =\quad \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ a & b \end{pmatrix}|a,b\in \quad R \right\} \quad mit\quad der\quad Basis\quad B=\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \right\} \\ Außerdem\quad sei:\\ { L }_{ B }=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\quad die\quad darstellende\quad Atrix\quad einer\quad linearen\quad Abbildung\quad \\ L:\quad W\longrightarrow W\quad bezüglich\quad der\quad Basis\quad B\\ \\ a)\quad Bestimme\quad den\quad Kern\quad und\quad das\quad Bild\quad von\quad { L }_{ B }.\\ b)\quad Bestimme\quad den\quad Kern\quad und\quad das\quad Bild\quad von\quad L.$$

Ich bin gerade total am Ende, ich sitze nun schon mehr als 4h vor dieser Aufgabe und keine Literatur der Welt hilft mir dies zu lösen, könnte mir bitte Jemand a) genau erkläre? Wen möglich auch b bzw. alles, aber ich will auch nicht zu viel verlangen.

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Hat noch Jemand lust mir zu helfen?

Answer 1

Hallo

das Bild bestimmst du, indem du Lb mit den beiden Basisvektoren multiplizierst. den Kern indem du mit der Matrix aus den a und b  multiplizierst und = der 0 Matrix setzt.

Gruß lul

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Hallo lul, danke für die Antwort und sorry für die späte Rückmeldung, hoffe du liest die hier dennoch.

Das Bild bestimmst du, indem du Lb mit den beiden Basisvektoren multiplizierst.

Könnte dies Stimmen?
$$Bild({ L }_{ B })=\left\{ { a\begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} }|{ a,b\in \quad R } \right\} $$

Könntest du mir noch erklären warum dies die Basis ist?

Den Kern indem du mit der Matrix aus den a und b  multiplizierst und = der 0 Matrix setzt.

Hier verstehe ich dich leider nicht, besonders "mit der Matrix aus den a und b".

Normalerweise würde ich den Kern so bestimmen

$${ x }_{ 1 }=-2{ x }_{ 2 }\\ =>(\begin{matrix} { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 } \end{matrix})*(\begin{matrix} -2{ x }_{ 2 } \\ { x }_{ 2 } \end{matrix})\quad =>\quad Kern({ L }_{ B })=\left\{ { a*(\begin{matrix} -2{ x }_{ 2 } \\ { x }_{ 2 } \end{matrix}) }|{ a\in \quad R } \right\} $$

Aber dies scheint ja hier nicht zu funktionieren, könntest du deinen Tipp zur Lösung präzisieren?

Liebe Grüße

Anja

P.S. Ich hätte noch eine technische Frage zu Latex und dem einfügen der Formel hier.

Es scheint, als würde "{pmatrix}" mit den Leerzeichen nicht erkannt werden, warum?

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Ich nutze einmal das allseits beliebte Word "push"  :=)