Wie löse ich 10 = cos(2a) + 10 sin(2a) nach a auf?

Question

ich stehe hänge gerade bei folgender Gleichung:


10 = cos(2a) + 10*cos(2a)


Diese soll nach a aufgelößt werden. Mein erster Gedanke war, die Gleichung zu quadrieren und dann mit Hilfe der Additionstheoreme zu lösen... allerdings "stört" da der Faktor 10 vor dem cos. Wer kann mir hier weiter helfen?


Vielen Dank schon im Voraus!

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ACHTUNG: Mir ist im Text ein Typo unterlaufen - der 2. cos(2a) sollte eigentlich ein sin(2a) sein - wie in der Überschrift. Dier korrekte Gleichung lautet also:


10 = cos(2a) + 10 sin(2a)

Answer 1

10 = COS(2·a) + 10·COS(2·a)
10 = 11·COS(2·a)
COS(2·a) = 10/11
2·a = ARCCOS(10/11)
a = ARCCOS(10/11)/2 = 12.31°

Ich habe hier exemplarisch nur eine Lösung ausgerechnet. Die Cos-Funktion hat aber mehrere Lösungen. Die anderen solltest du auch noch bestimmen.

Ach ich sehe jetzt das du dich in der Aufgabe verschrieben hast. Das sollte wie in der Kopfzeile wohl sinus lauten. Ich habe das mal bei Wolramalpha lösen lassen.

https://docs.google.com/document/d/1gbM7dbeS5S7u7NALv8HOwwnchY1VuGieKfCEvuNm0lE/pub

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Vielen Dank für die Antwort!


ich habe gerade festgestellt, dass mir in der Gleichung im Text ein Fehler unterlaufen ist - der 2. cos sollte eigentlich ein sin sein, wie im Aufgabentitel.

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Hab ich auch gerade gesehen. Daher habe ich das mal mit Wolfram alpha erstmal lösen lassen. Kommst du damit klar?

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Ich hätte allerdings nicht erwartet, dass das so kompliziert wird... Ist das der direkteste Weg zum Ergebnis oder könnte es da noch schnellere geben?

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Du kannst auch statt sin( 2A) auch ±√(1-cos^2 ( 2A)) verwenden und cos(2A) = u substituieren. Sollte auf eine quadratische Gleichung mit Fallunterscheidung in u rauslaufen.

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Wie Lu das vorschlägt ist das eigentlich noch einfacher:

10 = COS(2·a) ± 10·√(1 - COS(2·a)^2)

Substituieren z = COS(2·a)

10 = z ± 10·√(1 - z^2)
10 - z = ± 10·√(1 - z^2)
z^2 - 20·z + 100 = 100 - 100·z^2
101·z^2 - 20·z = 0

z = 20/101 ∨ z = 0

Resubstituieren

a = ARCCOS(z)/2

a = ARCCOS(0)/2 = 45°
a = ARCCOS(20/101)/2 = 39.29°

Ich habe hier nur die offensichtliche Lösung vom Cosinus betrachtet. Es gibt aber immer noch weitere Lösungen. Die solltest du mit ausrechnen und aufschreiben.

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Vielen Dank für die ausführlichen Antworten! Das bring mich enorm weiter.


Dass sinus/cosinus - Funktionen noch weitere Lösungen haben ist mir klar. Da es sich bei der Problemstellung allerdings um eine konkrete Fragestellung aus der Technischen Mechanik handelt, sind nur Werte >= 0° und <90° physikalisch möglich und deshalb relevant.


Norchmals danke an alle die geholfen haben!